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La logique mathématique ouvre le programme de 1ʳᵉ Bac Sciences Maths et fixe le langage de toutes les démonstrations à venir. Cette fiche réunit les connecteurs (et, ou, implication, équivalence), les quantificateurs ∀ et ∃, la négation d'une proposition et les grands modes de raisonnement : par l'absurde, par contraposée, par disjonction des cas et par récurrence. En SM, on n'apprend pas la logique pour elle-même mais pour rédiger juste : une implication mal niée fait perdre tout un raisonnement. Le réflexe à ancrer dès le début de l'année : la négation de « ∀x, P(x) » est « ∃x, non P(x) ».

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Notions de logique — Connecteurs, quantificateurs & raisonnements

Math Excellence
1 · Les connecteurs logiques
P‾\overline P
Négation
vraie ssi PP fausse
P∧QP\wedge Q
Conjonction « et »
vraie ssi les deux vraies
P∨QP\vee Q
Disjonction « ou » inclusif
fausse ssi les deux fausses
P⇒QP\Rightarrow Q
Implication
fausse seulement si PP V et QQ F
P⇔QP\Leftrightarrow Q
Équivalence
vraie ssi même valeur
∃! x\exists!\,x
Existence unique
un et un seul xx
PQP‾P∧QP⇒QP⇔QVVFVVVVFFFFFFVVFVFFFVFVV\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline P & Q & \overline P & P\wedge Q & P\Rightarrow Q & P\Leftrightarrow Q\\ \hline V & V & F & V & V & V\\ \hline V & F & F & F & F & F\\ \hline F & V & V & F & V & F\\ \hline F & F & V & F & V & V\\ \hline\end{array}
2 · Quantificateurs & négation
∀\forall et ∃\exists
  • ∀x∈E, P(x)\forall x\in E,\ P(x) : « pour tout »
  • ∃x∈E, P(x)\exists x\in E,\ P(x) : « il existe »
  • le domaine EE fait partie de l'énoncé
Ex : ∃x∈R, x2=2\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=2 (V) mais ∃x∈Q, x2=2\exists x\in\mathbb{Q},\ x^2=2 (F)
Nier une proposition quantifiée
  • on échange ∀↔∃\forall\leftrightarrow\exists
  • on nie le prédicat final
(∀x, P(x))‾=∃x, P(x)‾\overline{(\forall x,\ P(x))}=\exists x,\ \overline{P(x)}
Astuce : nier de gauche à droite, sans changer l'ordre.
L'ordre ∀/∃\forall/\exists compte
  • ∀x,∃y, y>x\forall x,\exists y,\ y>x : V (yy dépend de xx)
  • ∃y,∀x, y>x\exists y,\forall x,\ y>x : F
Piège : ∀\forall et ∃\exists ne commutent pas.
De Morgan — le réflexe pour nier
  • P∧Q‾=P‾∨Q‾\overline{P\wedge Q}=\overline P\vee\overline Q
  • P∨Q‾=P‾∧Q‾\overline{P\vee Q}=\overline P\wedge\overline Q
  • P⇒Q‾=P∧Q‾\overline{P\Rightarrow Q}=P\wedge\overline Q
négation de « x≥0x\ge0 et x≤1x\le1 » : « x<0 ou x>1x>1 »
3 · Lois logiques (tautologies) à connaître
P‾‾⇔P\overline{\overline P}\Leftrightarrow P
P∧Q⇔Q∧PP\wedge Q\Leftrightarrow Q\wedge P
P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)P\vee(Q\wedge R)\Leftrightarrow(P\vee Q)\wedge(P\vee R)
P∧Q‾⇔P‾∨Q‾\overline{P\wedge Q}\Leftrightarrow\overline P\vee\overline Q
P∨Q‾⇔P‾∧Q‾\overline{P\vee Q}\Leftrightarrow\overline P\wedge\overline Q
(P⇒Q)⇔(P‾∨Q)(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline P\vee Q)
(P⇒Q)⇔(Q‾⇒P‾)(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline Q\Rightarrow\overline P)
P⇒Q‾⇔(P∧Q‾)\overline{P\Rightarrow Q}\Leftrightarrow(P\wedge\overline Q)
[(P⇒Q)∧(Q⇒R)]⇒(P⇒R)\big[(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow R)\big]\Rightarrow(P\Rightarrow R)
Réciproque : Q⇒PQ\Rightarrow P
Contraposée : Q‾⇒P‾\overline Q\Rightarrow\overline P
PP suffisante, QQ nécessaire
4 · Les grands raisonnements
Direct
  • supposer PP, enchaîner jusqu'à QQ
somme de deux rationnels ∈Q\in\mathbb{Q}
Contraposée
  • prouver Q‾⇒P‾\overline Q\Rightarrow\overline P au lieu de P⇒QP\Rightarrow Q
n2n^2 impair ⇒n\Rightarrow n impair
Par l'absurde
  • supposer P‾\overline P, aboutir à une contradiction
2∉Q\sqrt2\notin\mathbb{Q}
Contre-exemple
  • nier ∀x, P(x)\forall x,\ P(x) : exhiber un seul x0x_0
« x2=4⇒x=2x^2=4\Rightarrow x=2 » faux : x=−2x=-2
Disjonction des cas
  • partager EE en cas qui le recouvrent
n(n+1)n(n+1) pair : nn pair ou impair
Récurrence
  • Init. P(n0)P(n_0) ; Hérédité P(n)⇒P(n+1)P(n)\Rightarrow P(n+1)
  • conclure ∀n≥n0\forall n\ge n_0
Piège : sans initialisation, on ne prouve rien !
★ Astuces géniales
  • « Le faux implique tout » : si PP est fausse, P⇒QP\Rightarrow Q est vraie.
  • Prouver une équivalence = prouver deux implications (les deux sens).
  • Nier = De Morgan + échange des quantificateurs, de gauche à droite.
  • Une équation par équivalences : chaque étape doit être réversible.
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