QCM — Notions de logique

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Une proposition mathématique est un énoncé :

   • Atoujours vrai
   • ✓auquel on peut attribuer une seule valeur de vérité : vrai ou faux
   • Cqui contient au moins une variable
   • Dqui est soit une question, soit une affirmation

   Remarque

   Une proposition est un énoncé auquel on attribue une unique valeur de vérité (V ou F). « \(x>1\) » n'en est pas une (sa vérité dépend de \(x\)), ni une question.

2. Question 2

   Parmi ces énoncés, lequel n'est pas une proposition ?

   • A\(2+3=5\)
   • B\(7\) est un nombre pair
   • ✓\(x^2-1=0\)
   • D\(\sqrt2\) est irrationnel

   Remarque

   « \(x^2-1=0\) » dépend de la variable libre \(x\) : c'est une fonction propositionnelle \(P(x)\), pas une proposition, tant qu'on n'a pas fixé \(x\) ni mis un quantificateur.

3. Question 3

   Le principe du tiers exclu affirme que, pour toute proposition \(P\) :

   • A\(P\wedge\overline P\) est toujours vraie
   • ✓\(P\vee\overline P\) est toujours vraie
   • C\(P\) est toujours vraie
   • D\(P\Rightarrow\overline P\) est toujours vraie

   Remarque

   \(P\vee\overline P\) est toujours vraie (tiers exclu) ; \(P\wedge\overline P\) est toujours fausse (non-contradiction).

4. Question 4

   La négation de la proposition « \(x\ge 1\) » est :

   • A\(x\le 1\)
   • B\(x>1\)
   • ✓\(x<1\)
   • D\(x\neq 1\)

   Remarque

   La négation de \(x\ge 1\) est \(x<1\) (le contraire de « supérieur ou égal » est « strictement inférieur »).

5. Question 5

   La négation de « \(\forall x\in\mathbb{R},\ P(x)\) » est :

   • A\(\forall x\in\mathbb{R},\ \overline{P(x)}\)
   • ✓\(\exists x\in\mathbb{R},\ \overline{P(x)}\)
   • C\(\exists x\in\mathbb{R},\ P(x)\)
   • D\(\forall x\in\mathbb{R},\ P(x)\)

   Remarque

   Nier une proposition quantifiée échange le quantificateur et nie le prédicat : \(\overline{\forall x,\ P(x)}=\exists x,\ \overline{P(x)}\).

6. Question 6

   La négation de « \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=x\) » est :

   • ✓\(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\neq x\)
   • B\(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2\neq x\)
   • C\(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2= x\)
   • D\(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2\le x\)

   Remarque

   \(\overline{\exists x,\ x^2=x}=\forall x,\ x^2\neq x\). Le \(\exists\) devient \(\forall\) et l'égalité est niée.

7. Question 7

   Laquelle de ces propositions est vraie ?

   • A\(\exists y\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R},\ y>x\)
   • ✓\(\forall x\in\mathbb{R},\ \exists y\in\mathbb{R},\ y>x\)
   • C\(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2=2\)
   • D\(\exists x\in\mathbb{Q},\ x^2=2\)

   Remarque

   \(\forall x,\ \exists y,\ y>x\) est vraie (prendre \(y=x+1\)). L'ordre compte : \(\exists y,\ \forall x,\ y>x\) est fausse (aucun \(y\) ne dépasse tous les réels).

8. Question 8

   La proposition « \(\exists x\in\mathbb{Q},\ x^2=2\) » est :

   • Avraie, car \(x=\sqrt2\)
   • ✓fausse, car \(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\)
   • Cvraie, car \(x=1{,}414\)
   • Dindéterminée

   Remarque

   Le domaine fait partie de l'énoncé : \(\sqrt2\) est irrationnel, donc aucun rationnel n'a pour carré \(2\). La proposition est fausse sur \(\mathbb{Q}\) (mais vraie sur \(\mathbb{R}\)).

9. Question 9

   La conjonction \(P\wedge Q\) est vraie :

   • Adès que \(P\) ou \(Q\) est vraie
   • ✓uniquement quand \(P\) et \(Q\) sont vraies toutes les deux
   • Cuniquement quand \(P\) et \(Q\) sont fausses
   • Dtoujours

   Remarque

   « et » : \(P\wedge Q\) n'est vraie que si les deux sont vraies simultanément.

10. Question 10

    La disjonction \(P\vee Q\) est fausse :

    • ✓uniquement quand \(P\) et \(Q\) sont fausses toutes les deux
    • Bdès que l'une des deux est fausse
    • Cuniquement quand \(P\) et \(Q\) sont vraies
    • Djamais

    Remarque

    Le « ou » mathématique est inclusif : \(P\vee Q\) n'est fausse que si \(P\) et \(Q\) sont fausses ensemble.

11. Question 11

    L'implication \(P\Rightarrow Q\) est fausse dans le seul cas où :

    • A\(P\) est fausse et \(Q\) vraie
    • ✓\(P\) est vraie et \(Q\) fausse
    • C\(P\) et \(Q\) sont fausses
    • D\(P\) et \(Q\) sont vraies

    Remarque

    \(P\Rightarrow Q\) n'est fausse que lorsque l'hypothèse \(P\) est vraie mais la conclusion \(Q\) est fausse ; elle est vraie dans tous les autres cas.

12. Question 12

    Si \(P\) est fausse, alors \(P\Rightarrow Q\) est :

    • Afausse
    • ✓vraie, quelle que soit \(Q\)
    • Cvraie seulement si \(Q\) est vraie
    • Dindéterminée

    Remarque

    « Le faux implique n'importe quoi » : dès que \(P\) est fausse, \(P\Rightarrow Q\) est vraie. Ainsi \(2<0\Rightarrow 3=7\) est vraie.

13. Question 13

    La contraposée de l'implication \(P\Rightarrow Q\) est :

    • A\(Q\Rightarrow P\)
    • B\(\overline P\Rightarrow\overline Q\)
    • ✓\(\overline Q\Rightarrow\overline P\)
    • D\(P\Rightarrow\overline Q\)

    Remarque

    La contraposée est \(\overline Q\Rightarrow\overline P\) ; elle est équivalente à \(P\Rightarrow Q\). À ne pas confondre avec la réciproque \(Q\Rightarrow P\).

14. Question 14

    La réciproque de « \(x=2\Rightarrow x^2=4\) » est :

    • Avraie
    • ✓fausse, car \(x=-2\) est un contre-exemple
    • Céquivalente à l'implication de départ
    • Dsans réciproque

    Remarque

    La réciproque « \(x^2=4\Rightarrow x=2\) » est fausse : \(x=-2\) vérifie \(x^2=4\) mais pas \(x=2\).

15. Question 15

    L'équivalence \(P\Leftrightarrow Q\) est logiquement identique à :

    • A\(P\Rightarrow Q\)
    • ✓\((P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)\)
    • C\((P\Rightarrow Q)\vee(Q\Rightarrow P)\)
    • D\(P\wedge Q\)

    Remarque

    Prouver une équivalence, c'est prouver les deux implications : le sens direct \(P\Rightarrow Q\) et la réciproque \(Q\Rightarrow P\).

16. Question 16

    D'après les lois de De Morgan, \(\overline{P\wedge Q}\) équivaut à :

    • A\(\overline P\wedge\overline Q\)
    • ✓\(\overline P\vee\overline Q\)
    • C\(P\vee Q\)
    • D\(\overline P\Rightarrow\overline Q\)

    Remarque

    De Morgan : nier une conjonction donne une disjonction des négations : \(\overline{P\wedge Q}=\overline P\vee\overline Q\).

17. Question 17

    La négation de « \(x\ge 0\) et \(x\le 1\) » est :

    • A\(x<0\) et \(x>1\)
    • ✓\(x<0\) ou \(x>1\)
    • C\(x\le 0\) ou \(x\ge 1\)
    • D\(0<x<1\)

    Remarque

    Par De Morgan, on échange « et » ↔ « ou » et on nie chaque morceau : \(\overline{x\ge 0}\) est \(x<0\), \(\overline{x\le 1}\) est \(x>1\), reliés par « ou ».

18. Question 18

    L'implication \(P\Rightarrow Q\) est équivalente à :

    • ✓\(\overline P\vee Q\)
    • B\(P\wedge\overline Q\)
    • C\(P\vee\overline Q\)
    • D\(\overline P\wedge Q\)

    Remarque

    \((P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline P\vee Q)\). D'ailleurs sa négation est \(\overline{P\Rightarrow Q}=P\wedge\overline Q\).

19. Question 19

    Pour montrer qu'une proposition « \(\forall x\in E,\ P(x)\) » est fausse, il suffit de :

    • Avérifier \(P(x)\) pour quelques valeurs
    • ✓exhiber un seul \(x_0\) tel que \(P(x_0)\) soit fausse
    • Craisonner par récurrence
    • Dprouver \(\overline{P(x)}\) pour tout \(x\)

    Remarque

    Un seul contre-exemple \(x_0\) suffit à réfuter un énoncé universel : par exemple \(3\) n'est pas somme de deux carrés.

20. Question 20

    Le raisonnement adapté pour prouver « si \(n^2\) est pair alors \(n\) est pair » est :

    • Ale raisonnement direct
    • ✓la contraposée : « si \(n\) impair alors \(n^2\) impair »
    • Cun contre-exemple
    • Dla récurrence

    Remarque

    La contraposée « \(n\) impair \(\Rightarrow n^2\) impair » est plus maniable : \(n=2k+1\Rightarrow n^2=2(2k^2+2k)+1\), impair.

21. Question 21

    Le raisonnement par récurrence sur \(\mathbb{N}\) repose sur :

    • Al'initialisation seule
    • Bl'hérédité seule
    • ✓l'initialisation \(P(n_0)\) ET l'hérédité \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\)
    • Dla vérification pour tout \(n\)

    Remarque

    Les deux étapes sont indispensables : on amorce en \(n_0\) puis on propage. L'une sans l'autre ne prouve rien.

22. Question 22

    La propriété « \(2^n\) est divisible par \(3\) » est héréditaire mais fausse pour tout \(n\). Cela montre que :

    • Ala récurrence est une méthode peu fiable
    • ✓sans initialisation vérifiée, l'hérédité ne prouve rien
    • C\(2^n\) est parfois divisible par \(3\)
    • Dl'hérédité est inutile

    Remarque

    Si \(3\mid 2^n\) alors \(3\mid 2^{n+1}=2\cdot 2^n\) : l'hérédité tient. Mais \(P(0)\) est fausse, donc \(P(n)\) est fausse partout. L'initialisation est essentielle.