QCM — Généralités sur les fonctions

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le domaine de définition de \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\) est :

   • A\(\mathbb{R}\)
   • ✓\(\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
   • C\([2,+\infty[\)
   • D\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

   Remarque

   Il faut \(x-2\neq 0\), donc \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

2. Question 2

   Le domaine de définition de \(f(x)=\sqrt{x-3}\) est :

   • A\(]3,+\infty[\)
   • ✓\([3,+\infty[\)
   • C\(]-\infty,3]\)
   • D\(\mathbb{R}\)

   Remarque

   La racine impose \(x-3\ge 0\), soit \(x\ge 3\) : \(D_f=[3,+\infty[\).

3. Question 3

   Une fonction \(f\) est paire lorsque son domaine est symétrique et :

   • A\(f(-x)=-f(x)\)
   • ✓\(f(-x)=f(x)\)
   • C\(f(x+T)=f(x)\)
   • D\(f(x)\ge 0\)

   Remarque

   \(f\) paire : \(f(-x)=f(x)\). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées \((Oy)\).

4. Question 4

   La courbe d'une fonction impaire admet pour élément de symétrie :

   • Al'axe \((Oy)\)
   • Bl'axe \((Ox)\)
   • ✓l'origine \(O\) du repère
   • Dla droite \(y=x\)

   Remarque

   Impaire : \(f(-x)=-f(x)\), la courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).

5. Question 5

   La fonction \(x\mapsto x^3\) est :

   • Apaire
   • ✓impaire
   • Cni paire ni impaire
   • Dà la fois paire et impaire

   Remarque

   \((-x)^3=-x^3=-f(x)\) : la fonction cube est impaire.

6. Question 6

   La fonction \(x\mapsto x^2+1\) est :

   • Aimpaire
   • ✓paire
   • Cni paire ni impaire
   • Dpériodique

   Remarque

   \((-x)^2+1=x^2+1=f(x)\) : elle est paire.

7. Question 7

   Le taux de variation de \(f\) entre deux réels distincts \(a\) et \(b\) est :

   • A\(f(b)-f(a)\)
   • ✓\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
   • C\(\dfrac{b-a}{f(b)-f(a)}\)
   • D\(f(b)\cdot f(a)\)

   Remarque

   Le taux d'accroissement est \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ; son signe donne le sens de variation.

8. Question 8

   \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si, pour tous \(x_1<x_2\) de \(I\) :

   • A\(f(x_1)\ge f(x_2)\)
   • ✓\(f(x_1)<f(x_2)\)
   • C\(f(x_1)=f(x_2)\)
   • D\(f(x_1)\le f(x_2)\)

   Remarque

   Strictement croissante : \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\) (l'ordre est conservé au sens strict).

9. Question 9

   \(f\) est majorée sur \(I\) si et seulement si :

   • A\(\exists m\in\mathbb{R},\ \forall x\in I,\ f(x)\ge m\)
   • ✓\(\exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in I,\ f(x)\le M\)
   • C\(\forall M,\ \exists x,\ f(x)\le M\)
   • D\(f\) est croissante

   Remarque

   Majorée : il existe un réel \(M\) (un majorant) tel que \(f(x)\le M\) pour tout \(x\in I\).

10. Question 10

    Une fonction est bornée sur \(I\) lorsqu'elle est :

    • Amajorée uniquement
    • Bminorée uniquement
    • ✓à la fois majorée et minorée
    • Dmonotone

    Remarque

    Bornée = majorée et minorée : \(\exists m,M,\ \forall x,\ m\le f(x)\le M\).

11. Question 11

    Si \(f\) et \(g\) sont toutes deux croissantes (là où \(g\circ f\) est définie), alors \(g\circ f\) est :

    • ✓croissante
    • Bdécroissante
    • Cconstante
    • Dde sens indéterminé

    Remarque

    Deux croissances se composent en une croissance : \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\Rightarrow g(f(x_1))<g(f(x_2))\).

12. Question 12

    Si \(f\) est croissante et \(g\) décroissante, alors \(g\circ f\) est :

    • Acroissante
    • ✓décroissante
    • Cconstante
    • Dde sens indéterminé

    Remarque

    Croissante puis décroissante inverse l'ordre : \(g\circ f\) est décroissante.

13. Question 13

    La droite d'équation \(x=a\) est un axe de symétrie de la courbe de \(f\) si, pour tout \(h\) admissible :

    • A\(f(a+h)=-f(a-h)\)
    • ✓\(f(a+h)=f(a-h)\)
    • C\(f(a+h)+f(a-h)=2a\)
    • D\(f(a+h)=f(h)\)

    Remarque

    Axe vertical \(x=a\) : les points d'abscisses \(a\pm h\) ont la même image, soit \(f(a+h)=f(a-h)\) (équivalent à \(f(2a-x)=f(x)\)).

14. Question 14

    Le point \(\Omega(a,b)\) est un centre de symétrie de la courbe de \(f\) si, pour tout \(h\) admissible :

    • A\(f(a+h)=f(a-h)\)
    • ✓\(f(a+h)+f(a-h)=2b\)
    • C\(f(a+h)-f(a-h)=2b\)
    • D\(f(a+h)=b\)

    Remarque

    Centre \(\Omega(a,b)\) : \(a\) est le milieu des abscisses et \(b\) celui des ordonnées, d'où \(f(a+h)+f(a-h)=2b\).

15. Question 15

    La fonction \(x\mapsto|x|\) est :

    • Aimpaire, croissante sur \(\mathbb{R}\)
    • Bpaire, décroissante sur \([0,+\infty[\)
    • ✓paire, croissante sur \([0,+\infty[\)
    • Dni paire ni impaire

    Remarque

    \(|-x|=|x|\) : paire. Sur \([0,+\infty[\) on a \(|x|=x\), croissante ; sur \(]-\infty,0]\) elle décroît.

16. Question 16

    \(f\) est périodique de période \(T>0\) lorsque, pour tout \(x\) du domaine :

    • ✓\(f(x+T)=f(x)\)
    • B\(f(Tx)=f(x)\)
    • C\(f(x)+T=f(x)\)
    • D\(f(-x)=f(x)\)

    Remarque

    Périodicité : \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x\). Par exemple \(\cos\) est de période \(2\pi\).

17. Question 17

    \(M\) est le maximum de \(f\) sur \(I\), atteint en \(x_0\), si :

    • A\(f(x_0)=M\) et \(f(x)\ge M\) pour tout \(x\in I\)
    • ✓\(f(x_0)=M\) et \(f(x)\le M\) pour tout \(x\in I\)
    • C\(f(x)<M\) pour tout \(x\in I\)
    • D\(M\) est un majorant quelconque de \(f\)

    Remarque

    Le maximum est un majorant atteint : \(f(x_0)=M\) et \(f(x)\le M\) sur tout \(I\).

18. Question 18

    La fonction affine \(x\mapsto -3x+2\) est :

    • Astrictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
    • ✓strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\)
    • Cconstante
    • Dcroissante puis décroissante

    Remarque

    Le coefficient directeur \(-3<0\) : la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

19. Question 19

    Sur l'intervalle \(]-\infty,0]\), la fonction \(x\mapsto x^2\) est :

    • Acroissante
    • ✓décroissante
    • Cconstante
    • Dnon monotone

    Remarque

    Pour \(x_1<x_2\le 0\), on a \(x_1^2>x_2^2\) : \(x\mapsto x^2\) est décroissante sur \(]-\infty,0]\) (puis croissante sur \([0,+\infty[\)).

20. Question 20

    Dire que « \(f\ge g\) sur \(I\) » signifie graphiquement que, sur \(I\) :

    • ✓la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\)
    • Bla courbe de \(f\) est en dessous de celle de \(g\)
    • Cles deux courbes se coupent
    • D\(f\) est croissante

    Remarque

    \(f(x)\ge g(x)\) pour tout \(x\in I\) : la courbe de \(f\) est située au-dessus de (ou touche) celle de \(g\) sur \(I\).

21. Question 21

    Le domaine de définition de \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}\) est :

    • A\([0,+\infty[\)
    • ✓\([0,1[\,\cup\,]1,+\infty[\)
    • C\(]1,+\infty[\)
    • D\(\mathbb{R}\setminus\{1\}\)

    Remarque

    Il faut \(x\ge 0\) (racine) et \(x\neq 1\) (dénominateur) : \(D_f=[0,1[\,\cup\,]1,+\infty[\).

22. Question 22

    Étudier la parité de \(f\) a un intérêt car, si \(f\) est paire ou impaire :

    • A\(f\) est forcément monotone
    • ✓on peut réduire l'étude à \(D_f\cap[0,+\infty[\) puis compléter par symétrie
    • C\(f\) admet un maximum
    • D\(f\) est périodique

    Remarque

    Grâce à la symétrie de la courbe, on étudie \(f\) sur la partie positive du domaine puis on complète le tracé — c'est l'intérêt pratique de la parité.