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18

1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 18

Le produit vectoriel

1 · Résumé du cours

1.1 Orienter l'espace

Trièdre et base directe Trois vecteurs non coplanaires ı⃗,ȷ⃗,k⃗\vec\imath,\vec\jmath,\vec k forment un trièdre. Orienter l'espace, c'est décider lesquels de ces trièdres seront dits directs. La convention universelle est la règle du bonhomme d'Ampère : le bonhomme, couché le long de k⃗\vec k, les pieds à l'origine et la tête vers la pointe, regardant ı⃗\vec\imath, doit avoir ȷ⃗\vec\jmath à sa gauche.
La main droite, plus rapide Pouce =ı⃗=\vec\imath, index =ȷ⃗=\vec\jmath, majeur =k⃗=\vec k : si les trois doigts de la main droite se placent naturellement ainsi, la base est directe. Avec la main gauche, elle est indirecte.
Le produit vectoriel dépend de l'orientation Tout ce chapitre suppose l'espace orienté et travaille dans une base orthonormée directe. Échanger deux vecteurs de la base change le sens du résultat : u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v n'a de sens que l'orientation étant fixée.

1.2 Définition du produit vectoriel

Définition L'espace étant orienté, le produit vectoriel de u⃗\vec u et v⃗\vec v est le vecteur noté u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v défini par :
  • si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires : u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec0 ;
  • sinon, u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v est le vecteur orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v, tel que (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v) soit une base directe, et de norme ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ ∣sin⁡(u⃗,v⃗^)∣.\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\big|\sin\big(\widehat{\vec u,\vec v}\big)\big|.
Interprétation de la norme ∥u⃗∧v⃗∥\|\vec u\wedge\vec v\| est l'aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec u et v⃗\vec v. C'est la lecture géométrique à retenir : le produit vectoriel mesure « ce qui reste » quand on enlève la part de v⃗\vec v parallèle à u⃗\vec u.
Scalaire ou vectoriel : deux natures Le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v est un nombre : il sert aux angles, à l'orthogonalité, aux distances à un plan. Le produit vectoriel u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v est un vecteur : il sert aux directions normales, à la colinéarité et aux aires. Écrire u⃗∧v⃗=3\vec u\wedge\vec v=3 est une faute de nature, pas de calcul.

1.3 Propriétés

Antisymétrie et linéarité Pour tous vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec u,\vec v,\vec w et tout réel λ\lambda : v⃗∧u⃗=− (u⃗∧v⃗),u⃗∧u⃗=0⃗,\vec v\wedge\vec u=-\,(\vec u\wedge\vec v),\qquad \vec u\wedge\vec u=\vec0, (λu⃗)∧v⃗=u⃗∧(λv⃗)=λ (u⃗∧v⃗),(\lambda\vec u)\wedge\vec v=\vec u\wedge(\lambda\vec v)=\lambda\,(\vec u\wedge\vec v), u⃗∧(v⃗+w⃗)=u⃗∧v⃗+u⃗∧w⃗.\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w. Le produit vectoriel est donc antisymétrique et bilinéaire.
Le test de colinéarité u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗ et v⃗ sont colineˊaires.\vec u\wedge\vec v=\vec0 \iff \vec u \text{ et } \vec v \text{ sont colinéaires}. En particulier, A,B,CA,B,C sont alignés si et seulement si AB→∧AC→=0⃗\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec0.
Sur une base orthonormée directe ı⃗∧ȷ⃗=k⃗,ȷ⃗∧k⃗=ı⃗,k⃗∧ı⃗=ȷ⃗.\vec\imath\wedge\vec\jmath=\vec k,\qquad \vec\jmath\wedge\vec k=\vec\imath,\qquad \vec k\wedge\vec\imath=\vec\jmath. On tourne toujours dans le même sens ı⃗→ȷ⃗→k⃗→ı⃗\vec\imath\to\vec\jmath\to\vec k\to\vec\imath ; remonter le cycle change le signe.
Ni commutatif, ni associatif u⃗∧v⃗≠v⃗∧u⃗\vec u\wedge\vec v\neq\vec v\wedge\vec u dès que les vecteurs ne sont pas colinéaires, et en général (u⃗∧v⃗)∧w⃗≠u⃗∧(v⃗∧w⃗).(\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w \neq \vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w). On n'écrit donc jamais u⃗∧v⃗∧w⃗\vec u\wedge\vec v\wedge\vec w sans parenthèses.

1.4 Expression analytique

Coordonnées en base orthonormée directe Si u⃗(x,y,z)\vec u(x,y,z) et v⃗(x′,y′,z′)\vec v(x',y',z') dans une base orthonormée directe : u⃗∧v⃗=( yz′−zy′ ,  zx′−xz′ ,  xy′−yx′ ).\vec u\wedge\vec v=\big(\,yz'-zy'\ ,\ \ zx'-xz'\ ,\ \ xy'-yx'\,\big).
Comment ne pas se tromper Écrire les deux triplets l'un sous l'autre. Pour la première coordonnée, on barre la première ligne et on croise ce qui reste : yz′−zy′yz'-zy'. Pour la troisième, on barre la troisième : xy′−yx′xy'-yx'. La deuxième se calcule pareil mais on change le signe — d'où la forme zx′−xz′zx'-xz', et non xz′−zx′xz'-zx'.
Identité de Lagrange ∥u⃗∧v⃗∥2+(u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2 ∥v⃗∥2.\|\vec u\wedge\vec v\|^{2}+(\vec u\cdot\vec v)^{2}=\|\vec u\|^{2}\,\|\vec v\|^{2}. Elle relie les deux produits et permet de contrôler un calcul : si les deux membres diffèrent, une coordonnée est fausse.

1.5 Les trois applications au programme

Aires Aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec u et v⃗\vec v :  ∥u⃗∧v⃗∥\ \|\vec u\wedge\vec v\|. Aire du triangle ABCABC : A(ABC)=12 ∥AB→∧AC→∥.\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\,\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|.
Plan défini par trois points non alignés Si A,B,CA,B,C ne sont pas alignés, le vecteur n⃗=AB→∧AC→\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} est normal au plan (ABC)(ABC), et M∈(ABC)  ⟺  AM→⋅n⃗=0.M\in(ABC)\iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0. En développant, on obtient l'équation cartésienne ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 avec n⃗(a,b,c)\vec n(a,b,c).
Distance d'un point à une droite Soit (D)(D) la droite passant par AA et de vecteur directeur u⃗≠0⃗\vec u\neq\vec0, et soit MM un point de l'espace : d(M,(D))=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥.d\big(M,(D)\big)=\dfrac{\big\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\big\|}{\|\vec u\|}. C'est l'aire du parallélogramme divisée par sa base : il reste la hauteur.
Pourquoi la physique s'en sert Le moment d'une force F⃗\vec F appliquée en BB par rapport à un point AA vaut M→=AB→∧F⃗\overrightarrow{\mathcal{M}}=\overrightarrow{AB}\wedge\vec F, et la force de Laplace s'écrit F⃗=I ℓ⃗∧B⃗\vec F=I\,\vec\ell\wedge\vec B. Le produit vectoriel est l'outil qui traduit « faire tourner » — d'où son sens et sa direction perpendiculaires au plan de rotation.

2 · Exercices résolus

Calcul

Exercice 1

Dans une base orthonormée directe, on donne u⃗(1,−2,3)\vec u(1,-2,3) et v⃗(2,1,−1)\vec v(2,1,-1).

1) Calculer u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v et vérifier le résultat. 2) Déterminer les vecteurs unitaires orthogonaux à la fois à u⃗\vec u et à v⃗\vec v.

Voir la correction

1) On applique la formule : u⃗∧v⃗=((−2)(−1)−3×1 ,  3×2−1×(−1) ,  1×1−(−2)×2)=(−1, 7, 5).\vec u\wedge\vec v=\big((-2)(-1)-3\times1\ ,\ \ 3\times2-1\times(-1)\ ,\ \ 1\times1-(-2)\times2\big)=(-1,\,7,\,5).

Vérification par orthogonalité : u⃗⋅(u⃗∧v⃗)=−1−14+15=0,v⃗⋅(u⃗∧v⃗)=−2+7−5=0.\vec u\cdot(\vec u\wedge\vec v)=-1-14+15=0,\qquad \vec v\cdot(\vec u\wedge\vec v)=-2+7-5=0. Le résultat est bien orthogonal aux deux vecteurs.

2) Les vecteurs orthogonaux à u⃗\vec u et v⃗\vec v sont exactement les vecteurs colinéaires à u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v. Or ∥u⃗∧v⃗∥=(−1)2+72+52=75=53.\|\vec u\wedge\vec v\|=\sqrt{(-1)^{2}+7^{2}+5^{2}}=\sqrt{75}=5\sqrt3.

Il y a donc deux vecteurs unitaires convenables, opposés l'un de l'autre : w⃗=±153 (−1, 7, 5).\vec w=\pm\dfrac{1}{5\sqrt3}\,(-1,\,7,\,5). Oublier le signe −- est l'erreur classique de cette question. ∎

Plan et aire

Exercice 2

On considère A(1,2,0)A(1,2,0), B(2,0,1)B(2,0,1) et C(0,1,3)C(0,1,3).

1) Montrer que A,B,CA,B,C ne sont pas alignés et déterminer une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC). 2) Calculer l'aire du triangle ABCABC.

Voir la correction

1) AB→(1,−2,1)\overrightarrow{AB}(1,-2,1) et AC→(−1,−1,3)\overrightarrow{AC}(-1,-1,3), donc n⃗=AB→∧AC→=((−2)(3)−(1)(−1) ,  (1)(−1)−(1)(3) ,  (1)(−1)−(−2)(−1))=(−5, −4, −3).\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\big((-2)(3)-(1)(-1)\ ,\ \ (1)(-1)-(1)(3)\ ,\ \ (1)(-1)-(-2)(-1)\big)=(-5,\,-4,\,-3).

Ce vecteur n'est pas nul : les points ne sont pas alignés, et n⃗\vec n est normal au plan (ABC)(ABC). En prenant l'opposé (5,4,3)(5,4,3), qui convient tout autant, l'équation s'écrit 5(x−1)+4(y−2)+3(z−0)=0  ⟺  5x+4y+3z−13=0.5(x-1)+4(y-2)+3(z-0)=0 \iff 5x+4y+3z-13=0.

Contrôle sur les trois points : 5+8+0−13=05+8+0-13=0, 10+0+3−13=010+0+3-13=0, 0+4+9−13=00+4+9-13=0. ✔

2) ∥n⃗∥=25+16+9=50=52\|\vec n\|=\sqrt{25+16+9}=\sqrt{50}=5\sqrt2, donc A(ABC)=12 ∥AB→∧AC→∥=522.\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\,\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|=\dfrac{5\sqrt2}{2}. ∎

Distance

Exercice 3

Soit (D)(D) la droite passant par A(1,0,−1)A(1,0,-1) et de vecteur directeur u⃗(2,1,2)\vec u(2,1,2). Calculer la distance du point M(3,2,1)M(3,2,1) à la droite (D)(D).

Voir la correction

AM→(2,2,2)\overrightarrow{AM}(2,2,2) et ∥u⃗∥=4+1+4=3\|\vec u\|=\sqrt{4+1+4}=3. Puis AM→∧u⃗=(2×2−2×1 ,  2×2−2×2 ,  2×1−2×2)=(2, 0, −2),\overrightarrow{AM}\wedge\vec u=\big(2\times2-2\times1\ ,\ \ 2\times2-2\times2\ ,\ \ 2\times1-2\times2\big)=(2,\,0,\,-2), d'où ∥AM→∧u⃗∥=4+0+4=22\big\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\big\|=\sqrt{4+0+4}=2\sqrt2.

Finalement d(M,(D))=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥=223.d\big(M,(D)\big)=\dfrac{\big\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\big\|}{\|\vec u\|}=\dfrac{2\sqrt2}{3}.

La distance est non nulle : MM n'appartient pas à (D)(D). ∎

Démonstration

Exercice 4

Démontrer que pour tous vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v de l'espace : ∥u⃗∧v⃗∥2+(u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2 ∥v⃗∥2.\|\vec u\wedge\vec v\|^{2}+(\vec u\cdot\vec v)^{2}=\|\vec u\|^{2}\,\|\vec v\|^{2}.

Voir la correction

Si u⃗=0⃗\vec u=\vec0 ou v⃗=0⃗\vec v=\vec0, les deux membres sont nuls et l'égalité est vraie. On suppose donc les deux vecteurs non nuls et on note θ\theta une mesure de (u⃗,v⃗^)\big(\widehat{\vec u,\vec v}\big).

Par définition du produit scalaire et du produit vectoriel : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ,∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ ∣sin⁡θ∣.\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta,\qquad \|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin\theta|.

En élevant au carré et en additionnant : ∥u⃗∧v⃗∥2+(u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=∥u⃗∥2∥v⃗∥2.\|\vec u\wedge\vec v\|^{2}+(\vec u\cdot\vec v)^{2}=\|\vec u\|^{2}\|\vec v\|^{2}\big(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\big)=\|\vec u\|^{2}\|\vec v\|^{2}.

Cette identité se vérifie sur l'exercice 1 : ∥u⃗∧v⃗∥2=75\|\vec u\wedge\vec v\|^{2}=75, u⃗⋅v⃗=2−2−3=−3\vec u\cdot\vec v=2-2-3=-3 donc (u⃗⋅v⃗)2=9(\vec u\cdot\vec v)^{2}=9, et ∥u⃗∥2∥v⃗∥2=14×6=84=75+9\|\vec u\|^{2}\|\vec v\|^{2}=14\times6=84=75+9. ∎

L'essentiel du chapitre
  • Définition : u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v est orthogonal à u⃗\vec u et v⃗\vec v, oriente (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v) en base directe, et ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥∣sin⁡θ∣\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\|\vec v\||\sin\theta|.
  • Coordonnées : u⃗∧v⃗=(yz′−zy′, zx′−xz′, xy′−yx′)\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy',\ zx'-xz',\ xy'-yx') — attention au signe de la deuxième.
  • Colinéarité : u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗,v⃗\vec u\wedge\vec v=\vec0\iff\vec u,\vec v colinéaires ; A,B,CA,B,C alignés   ⟺  AB→∧AC→=0⃗\iff\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec0.
  • Aires : parallélogramme ∥u⃗∧v⃗∥\|\vec u\wedge\vec v\| ; triangle 12∥AB→∧AC→∥\tfrac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|.
  • Plan (ABC)(ABC) : normale n⃗=AB→∧AC→\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}, puis AM→⋅n⃗=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0.
  • Distance à une droite : d(M,(D))=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥d\big(M,(D)\big)=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}.
  • Pièges : ni commutatif, ni associatif ; le résultat est un vecteur, jamais un nombre.
Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la ficheQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 22 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

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