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Le produit vectoriel est le dernier chapitre de géométrie dans l'espace du programme de 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, et le seul qui exige d'orienter l'espace au préalable. Cette fiche réunit la règle du bonhomme d'Ampère et les bases directes, la définition géométrique, l'antisymétrie et la bilinéarité, l'expression analytique en base orthonormée directe, puis les trois applications au programme : l'aire d'un triangle, l'équation d'un plan défini par trois points non alignés et la distance d'un point à une droite. En SM, le résultat est un vecteur, jamais un nombre : c'est ce qui le distingue du produit scalaire. Le piège de calcul le plus coûteux : la deuxième coordonnée change de signe — on écrit zx′ − xz′, et non xz′ − zx′.

n⃗
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Le produit vectoriel — Orientation, aires, plans, distances

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1 · Définition & formules
Nature
u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v
un vecteur, pas un nombre
Norme
∥u⃗∥ ∥v⃗∥ ∣sin⁡θ∣\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin\theta|
aire du parallélogramme
Direction
u⃗∧v⃗⊥u⃗, v⃗\vec u\wedge\vec v\perp\vec u,\ \vec v
(u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v) directe
Coordonnées
(yz′−zy′, zx′−xz′, xy′−yx′)(yz'-zy',\ zx'-xz',\ xy'-yx')
base orthonormée directe
Colinéarité
u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  \vec u\wedge\vec v=\vec0\iff colinéaires
test d'alignement
Lagrange
∥u⃗∧v⃗∥2+(u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2\|\vec u\wedge\vec v\|^2+(\vec u\cdot\vec v)^2=\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2
pour contrôler un calcul
2 · Orientation & propriétés
Base directe
  • règle du bonhomme d'Ampère : ȷ⃗\vec\jmath à sa gauche
  • ou main droite : pouce ı⃗\vec\imath, index ȷ⃗\vec\jmath, majeur k⃗\vec k
Astuce : ı⃗∧ȷ⃗=k⃗\vec\imath\wedge\vec\jmath=\vec k, ȷ⃗∧k⃗=ı⃗\vec\jmath\wedge\vec k=\vec\imath, k⃗∧ı⃗=ȷ⃗\vec k\wedge\vec\imath=\vec\jmath — on tourne toujours dans le même sens.
Antisymétrie
  • v⃗∧u⃗=−(u⃗∧v⃗)\vec v\wedge\vec u=-(\vec u\wedge\vec v)
  • u⃗∧u⃗=0⃗\vec u\wedge\vec u=\vec0
Bilinéarité
  • (λu⃗)∧v⃗=λ(u⃗∧v⃗)(\lambda\vec u)\wedge\vec v=\lambda(\vec u\wedge\vec v)
  • u⃗∧(v⃗+w⃗)=u⃗∧v⃗+u⃗∧w⃗\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w
Ce qui est FAUX
  • u⃗∧v⃗≠v⃗∧u⃗\vec u\wedge\vec v\neq\vec v\wedge\vec u
  • pas associatif : (u⃗∧v⃗)∧w⃗≠u⃗∧(v⃗∧w⃗)(\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w\neq\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w)
Jamais u⃗∧v⃗∧w⃗\vec u\wedge\vec v\wedge\vec w sans parenthèses.
3 · Les trois applications
Aires
  • parallélogramme : ∥u⃗∧v⃗∥\|\vec u\wedge\vec v\|
  • triangle : A(ABC)=12∥AB→∧AC→∥\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|
Plan par 3 points
  • n⃗=AB→∧AC→\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
  • puis AM→⋅n⃗=0⇒ax+by+cz+d=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\Rightarrow ax+by+cz+d=0
Contrôle : les trois points doivent vérifier l'équation trouvée.
Distance point-droite
  • (D)(D) passe par AA, dirigée par u⃗\vec u
  • d(M,(D))=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥d(M,(D))=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}
Aire ÷\div base == hauteur.
Alignement
  • A,B,CA,B,C alignés   ⟺  AB→∧AC→=0⃗\iff\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec0
  • sinon ils définissent un plan
4 · Formules & réflexes
∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥∣sin⁡θ∣\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\|\vec v\||\sin\theta|
u⃗∧v⃗=(yz′−zy′, zx′−xz′, xy′−yx′)\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy',\ zx'-xz',\ xy'-yx')
u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  \vec u\wedge\vec v=\vec0\iff colinéaires
v⃗∧u⃗=−(u⃗∧v⃗)\vec v\wedge\vec u=-(\vec u\wedge\vec v)
ı⃗∧ȷ⃗=k⃗\vec\imath\wedge\vec\jmath=\vec k
A(ABC)=12∥AB→∧AC→∥\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|
d(M,(D))=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥d(M,(D))=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}
∥u⃗∧v⃗∥2+(u⃗⋅v⃗)2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2\|\vec u\wedge\vec v\|^2+(\vec u\cdot\vec v)^2=\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2
★ Astuces géniales
  • Pour la deuxième coordonnée, on change le signe : zx′−xz′zx'-xz', et non xz′−zx′xz'-zx'. C'est là que se perdent la plupart des points.
  • Toujours vérifier le résultat : u⃗⋅(u⃗∧v⃗)\vec u\cdot(\vec u\wedge\vec v) et v⃗⋅(u⃗∧v⃗)\vec v\cdot(\vec u\wedge\vec v) doivent être nuls. Deux produits scalaires, dix secondes.
  • « Trouver un vecteur normal à (ABC)(ABC) » se lit toujours AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} — on peut ensuite simplifier par un facteur commun.
  • Vecteur unitaire orthogonal à u⃗\vec u et v⃗\vec v : il y en a deux, ±u⃗∧v⃗∥u⃗∧v⃗∥\pm\dfrac{\vec u\wedge\vec v}{\|\vec u\wedge\vec v\|}. Ne pas oublier le signe −-.
  • Scalaire → un nombre (angles, orthogonalité, distance à un plan) ; vectoriel → un vecteur (normale, colinéarité, aires, distance à une droite).
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