QCM — Le produit vectoriel

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le produit vectoriel \(\vec u\wedge\vec v\) de deux vecteurs de l'espace est :

   • Aun nombre réel
   • ✓un vecteur
   • Cun angle
   • Dune aire

   Remarque

   Le produit scalaire donne un nombre, le produit vectoriel donne un vecteur. Écrire \(\vec u\wedge\vec v=3\) est une faute de nature.

2. Question 2

   Si \(\theta\) est une mesure de l'angle \(\big(\widehat{\vec u,\vec v}\big)\), alors \(\|\vec u\wedge\vec v\|\) vaut :

   • A\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\)
   • ✓\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin\theta|\)
   • C\(\|\vec u\|+\|\vec v\|\)
   • D\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\)

   Remarque

   \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin\theta|\). C'est le \(\cos\) qui appartient au produit scalaire.

3. Question 3

   Géométriquement, \(\|\vec u\wedge\vec v\|\) représente :

   • ✓l'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\)
   • Ble périmètre du triangle
   • Cle volume du cube d'arête \(\|\vec u\|\)
   • Dla distance entre les extrémités de \(\vec u\) et \(\vec v\)

   Remarque

   La norme du produit vectoriel est l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs — d'où toutes les formules d'aire du chapitre.

4. Question 4

   Pour deux vecteurs non nuls, \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\) si et seulement si :

   • A\(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux
   • ✓\(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires
   • C\(\vec u\) et \(\vec v\) ont la même norme
   • D\(\vec u=\vec v\)

   Remarque

   \(\sin\theta=0\) signifie \(\theta=0\) ou \(\theta=\pi\) : les vecteurs sont colinéaires. C'est le test de colinéarité du chapitre.

5. Question 5

   Le produit vectoriel vérifie, pour tous \(\vec u,\vec v\) :

   • A\(\vec v\wedge\vec u=\vec u\wedge\vec v\)
   • ✓\(\vec v\wedge\vec u=-(\vec u\wedge\vec v)\)
   • C\(\vec v\wedge\vec u=\vec 0\)
   • D\(\vec v\wedge\vec u=\vec u\cdot\vec v\)

   Remarque

   Il est antisymétrique : échanger les deux vecteurs change le signe du résultat. Il n'est donc pas commutatif.

6. Question 6

   Pour tout vecteur \(\vec u\), \(\vec u\wedge\vec u\) vaut :

   • ✓\(\vec 0\)
   • B\(\|\vec u\|^2\)
   • C\(2\vec u\)
   • D\(\vec u\)

   Remarque

   \(\vec u\) est colinéaire à lui-même, donc \(\vec u\wedge\vec u=\vec 0\). On le retrouve aussi par l'antisymétrie.

7. Question 7

   Dans une base orthonormée directe \((\vec i,\vec j,\vec k)\), \(\vec i\wedge\vec j\) vaut :

   • ✓\(\vec k\)
   • B\(-\vec k\)
   • C\(\vec 0\)
   • D\(\vec i+\vec j\)

   Remarque

   \(\vec i\wedge\vec j=\vec k\). On tourne dans le sens \(\vec i\to\vec j\to\vec k\to\vec i\).

8. Question 8

   Toujours en base orthonormée directe, \(\vec k\wedge\vec j\) vaut :

   • A\(\vec i\)
   • ✓\(-\vec i\)
   • C\(\vec 0\)
   • D\(\vec k\)

   Remarque

   \(\vec j\wedge\vec k=\vec i\), donc par antisymétrie \(\vec k\wedge\vec j=-\vec i\). Remonter le cycle change le signe.

9. Question 9

   Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x',y',z')\) en base orthonormée directe, \(\vec u\wedge\vec v\) a pour coordonnées :

   • A\((xx',\ yy',\ zz')\)
   • ✓\((yz'-zy',\ zx'-xz',\ xy'-yx')\)
   • C\((yz'-zy',\ xz'-zx',\ xy'-yx')\)
   • D\((xy'-yx',\ yz'-zy',\ zx'-xz')\)

   Remarque

   La deuxième coordonnée est \(zx'-xz'\) : c'est elle qui change de signe. La proposition 3 est le piège classique.

10. Question 10

    Pour \(\vec u(1,2,3)\) et \(\vec v(0,1,-1)\), le produit \(\vec u\wedge\vec v\) vaut :

    • ✓\((-5,1,1)\)
    • B\((5,-1,1)\)
    • C\((-5,-1,1)\)
    • D\((0,2,-3)\)

    Remarque

    \(\big(2(-1)-3(1),\ 3(0)-1(-1),\ 1(1)-2(0)\big)=(-5,1,1)\). Contrôle : \(\vec u\cdot(-5,1,1)=-5+2+3=0\).

11. Question 11

    Pour \(\vec u(2,-1,1)\) et \(\vec v(1,3,-2)\), le produit \(\vec u\wedge\vec v\) vaut :

    • ✓\((-1,5,7)\)
    • B\((1,-5,7)\)
    • C\((-1,-5,7)\)
    • D\((2,-3,-2)\)

    Remarque

    \(\big((-1)(-2)-1\times3,\ 1\times1-2\times(-2),\ 2\times3-(-1)\times1\big)=(-1,5,7)\).

12. Question 12

    Quelle égalité est fausse en général ?

    • A\((\lambda\vec u)\wedge\vec v=\lambda(\vec u\wedge\vec v)\)
    • B\(\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w\)
    • ✓\((\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w=\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w)\)
    • D\(\vec v\wedge\vec u=-(\vec u\wedge\vec v)\)

    Remarque

    Le produit vectoriel n'est pas associatif. On n'écrit donc jamais \(\vec u\wedge\vec v\wedge\vec w\) sans parenthèses.

13. Question 13

    L'aire du triangle \(ABC\) est donnée par :

    • A\(\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\)
    • ✓\(\tfrac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\)
    • C\(\tfrac12\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)
    • D\(\tfrac12\|\overrightarrow{AB}\|\times\|\overrightarrow{AC}\|\)

    Remarque

    Le produit vectoriel donne l'aire du parallélogramme ; le triangle en est la moitié.

14. Question 14

    Avec \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\) et \(C(0,2,0)\), l'aire du triangle \(ABC\) vaut :

    • ✓\(1\)
    • B\(2\)
    • C\(\tfrac12\)
    • D\(\sqrt5\)

    Remarque

    \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(0,0,2)\), de norme \(2\), donc \(\mathcal{A}=\tfrac12\times2=1\).

15. Question 15

    \(A,B,C\) étant trois points non alignés, un vecteur normal au plan \((ABC)\) est :

    • A\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
    • ✓\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\)
    • C\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)
    • D\(\overrightarrow{BC}\)

    Remarque

    \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est orthogonal aux deux vecteurs du plan, donc au plan lui-même. C'est la méthode pour obtenir l'équation de \((ABC)\).

16. Question 16

    Trois points \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si :

    • A\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
    • ✓\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec 0\)
    • C\(\|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{AC}\|\)
    • D\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\neq\vec 0\)

    Remarque

    Alignés \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires \(\Leftrightarrow\) leur produit vectoriel est nul. Le produit scalaire nul, lui, signifie un angle droit en \(A\).

17. Question 17

    \((D)\) passe par \(A\) et a pour vecteur directeur \(\vec u\neq\vec0\). La distance d'un point \(M\) à \((D)\) vaut :

    • ✓\(\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\)
    • B\(\dfrac{|\overrightarrow{AM}\cdot\vec u|}{\|\vec u\|}\)
    • C\(\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|\)
    • D\(\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\|}{\|\vec u\|}\)

    Remarque

    On divise l'aire du parallélogramme par sa base : il reste la hauteur, c'est-à-dire la distance à la droite.

18. Question 18

    Soit \((D)\) l'axe des abscisses, passant par \(O\) et dirigé par \(\vec i\). La distance de \(M(0,3,4)\) à \((D)\) vaut :

    • ✓\(5\)
    • B\(3\)
    • C\(4\)
    • D\(\sqrt{7}\)

    Remarque

    \(\overrightarrow{OM}\wedge\vec i=(0,4,-3)\), de norme \(5\), et \(\|\vec i\|=1\) : la distance vaut \(5\).

19. Question 19

    L'identité de Lagrange s'écrit :

    • ✓\(\|\vec u\wedge\vec v\|^2+(\vec u\cdot\vec v)^2=\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2\)
    • B\(\|\vec u\wedge\vec v\|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2=\|\vec u\|^2\|\vec v\|^2\)
    • C\(\|\vec u\wedge\vec v\|+\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\)
    • D\(\|\vec u\wedge\vec v\|^2=(\vec u\cdot\vec v)^2\)

    Remarque

    Elle vient de \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) et permet de contrôler un calcul de coordonnées.

20. Question 20

    Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont deux vecteurs unitaires et orthogonaux, alors \(\|\vec u\wedge\vec v\|\) vaut :

    • A\(0\)
    • ✓\(1\)
    • C\(2\)
    • D\(\sqrt2\)

    Remarque

    \(\theta=\tfrac\pi2\) donc \(|\sin\theta|=1\), et \(\|\vec u\wedge\vec v\|=1\times1\times1=1\).

21. Question 21

    Combien y a-t-il de vecteurs unitaires orthogonaux à la fois à \(\vec u\) et à \(\vec v\), lorsque \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires ?

    • Aaucun
    • Bun seul
    • ✓exactement deux
    • Dune infinité

    Remarque

    Ce sont les vecteurs \(\pm\dfrac{\vec u\wedge\vec v}{\|\vec u\wedge\vec v\|}\) : deux vecteurs opposés. Oublier le signe \(-\) coûte des points.

22. Question 22

    Pour tous vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\), le nombre \(\vec u\cdot(\vec u\wedge\vec v)\) vaut :

    • A\(\|\vec u\|^2\)
    • ✓\(0\)
    • C\(\|\vec u\wedge\vec v\|\)
    • D\(\vec u\cdot\vec v\)

    Remarque

    \(\vec u\wedge\vec v\) est orthogonal à \(\vec u\), donc leur produit scalaire est nul. C'est la vérification à faire après chaque calcul de coordonnées.