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1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 6

Calcul trigonométrique

La trigonométrie donne un langage pour mesurer les angles (en radians, pas seulement en degrés) et pour calculer avec eux. Tout se joue sur le cercle trigonométrique, où un réel x devient un point de coordonnées (cos x, sin x) : les signes se lisent alors selon le quadrant, et les identités fondamentales, à commencer par cos²x + sin²x = 1, se voient géométriquement. Ce chapitre rassemble ensuite les grandes familles de formules — addition, duplication, linéarisation, produit↔somme — sans les empiler au hasard : chacune a un emploi précis, calculer une valeur exacte, simplifier, ou factoriser pour résoudre. Vous apprendrez aussi à réduire a·cos x + b·sin x à un seul cosinus R·cos(x − φ), ce qui donne d'un coup le maximum, le minimum et les solutions d'une équation, puis à résoudre les équations trigonométriques de référence sur ℝ et sur un intervalle imposé. C'est la boîte à outils qui reviendra dans la rotation, les limites et l'étude de fonctions.

1 · Résumé du cours

Le calcul trigonométrique permet de repérer un angle, de calculer ses lignes trigonométriques et de transformer une expression contenant des sinus, des cosinus ou des tangentes. Chaque formule répond à un objectif précis : calculer une valeur exacte, simplifier, factoriser ou résoudre une équation. L'idée n'est pas de les apprendre en vrac, mais de savoir laquelle sert à quoi.

1.1 Angles orientés et mesure en radians

Angle orienté Dans le plan orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre), l'angle orienté formé par deux vecteurs non nuls u⃗\vec u et v⃗\vec v est noté (u⃗,v⃗)\big(\vec u,\vec v\big). Une rotation dans le sens direct donne une mesure positive, dans le sens indirect une mesure négative.
Le radian Sur un cercle de rayon RR, un angle au centre qui intercepte un arc de longueur RR mesure un radian. Correspondances fondamentales : 180∘=π rad180^\circ=\pi\ \text{rad}, 360∘=2π rad360^\circ=2\pi\ \text{rad}. D'où αrad=αdeg×π180,αdeg=αrad×180π.\alpha_{\rm rad}=\alpha_{\rm deg}\times\frac{\pi}{180},\qquad \alpha_{\rm deg}=\alpha_{\rm rad}\times\frac{180}{\pi}.

Exemple. 60∘=60×π180=π360^\circ=60\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}, et 5π6=5π6×180π=150∘\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi}=150^\circ.

Relations entre angles orientés Pour tous vecteurs non nuls u⃗,v⃗,w⃗\vec u,\vec v,\vec w : (u⃗,v⃗)+(v⃗,w⃗)=(u⃗,w⃗)(mod2π)\big(\vec u,\vec v\big)+\big(\vec v,\vec w\big)=\big(\vec u,\vec w\big)\pmod{2\pi} (relation de Chasles), (v⃗,u⃗)=−(u⃗,v⃗)(mod2π)\big(\vec v,\vec u\big)=-\big(\vec u,\vec v\big)\pmod{2\pi}, et (−u⃗,v⃗)=(u⃗,−v⃗)=(u⃗,v⃗)+π(mod2π)\big(-\vec u,\vec v\big)=\big(\vec u,-\vec v\big)=\big(\vec u,\vec v\big)+\pi\pmod{2\pi}.
Mesures d'un même angle · mesure principale Deux réels θ\theta et θ′\theta' représentent le même angle orienté si et seulement si θ′=θ+2kπ, k∈Z\theta'=\theta+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}, noté θ′≡θ(mod2π)\theta'\equiv\theta\pmod{2\pi}. Parmi toutes ces mesures, l'unique qui appartient à ]−π,π]\left]-\pi,\pi\right] est la mesure principale.
Méthode — déterminer la mesure principale Écrire θ−2kπ\theta-2k\pi, choisir k∈Zk\in\mathbb{Z} de sorte que −π<θ−2kπ≤π-\pi<\theta-2k\pi\leq\pi, puis vérifier l'appartenance. Exemple : 29π6−2×2π=29π−24π6=5π6\dfrac{29\pi}{6}-2\times2\pi=\dfrac{29\pi-24\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}, donc la mesure principale de 29π6\dfrac{29\pi}{6} est 5π6\dfrac{5\pi}{6}.

1.2 Cercle trigonométrique et lignes trigonométriques

Cercle trigonométrique C'est le cercle de centre OO, de rayon 11, orienté dans le sens direct, muni du point origine I(1,0)I(1,0). À tout réel xx on associe le point MM obtenu en parcourant sur le cercle une longueur algébrique xx à partir de II. Dans un repère orthonormé direct, M(cos⁡x,sin⁡x)M(\cos x,\sin x), et lorsque cos⁡x≠0\cos x\neq0, tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.

Sur le cercle unité, cos⁡x\cos x est l'abscisse de MM et sin⁡x\sin x son ordonnée : leurs signes se lisent directement selon le quadrant.

Relations fondamentales Pour tout réel xx : −1≤cos⁡x≤1-1\leq\cos x\leq1, −1≤sin⁡x≤1-1\leq\sin x\leq1, et cos⁡2x+sin⁡2x=1.\cos^{2}x+\sin^{2}x=1. Lorsque cos⁡x≠0\cos x\neq0 : 1+tan⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}.
Périodicité et parité Pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} et k∈Zk\in\mathbb{Z} : cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x\cos(x+2k\pi)=\cos x, sin⁡(x+2kπ)=sin⁡x\sin(x+2k\pi)=\sin x, et tan⁡(x+kπ)=tan⁡x\tan(x+k\pi)=\tan x (période π\pi). Le cosinus est pair, le sinus et la tangente impairs : cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x, sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x, tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x)=-\tan x.
Valeurs remarquables x0π6π4π3π2cos⁡x13222120sin⁡x01222321tan⁡x03313—\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \tfrac\pi6 & \tfrac\pi4 & \tfrac\pi3 & \tfrac\pi2\\\hline \cos x & 1 & \tfrac{\sqrt3}2 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac12 & 0\\\hline \sin x & 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac{\sqrt3}2 & 1\\\hline \tan x & 0 & \tfrac{\sqrt3}3 & 1 & \sqrt3 & \text{—}\\\hline \end{array} (tan⁡π2\tan\tfrac\pi2 n'est pas définie.)
Angles associés Pour ramener un angle quelconque à un angle remarquable du premier quadrant : anglecos⁡sin⁡−xcos⁡x−sin⁡xπ−x−cos⁡xsin⁡xπ+x−cos⁡x−sin⁡xπ2−xsin⁡xcos⁡xπ2+x−sin⁡xcos⁡x\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{angle} & \cos & \sin\\\hline -x & \cos x & -\sin x\\\hline \pi-x & -\cos x & \sin x\\\hline \pi+x & -\cos x & -\sin x\\\hline \tfrac{\pi}{2}-x & \sin x & \cos x\\\hline \tfrac{\pi}{2}+x & -\sin x & \cos x\\\hline \end{array}
Méthode — une ligne à partir d'une autre Connaissant cos⁡x\cos x : utiliser sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^{2}x=1-\cos^{2}x, choisir le signe de sin⁡x\sin x selon le quadrant de xx, puis tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} si cos⁡x≠0\cos x\neq0. Une racine carrée est toujours positive, alors que sin⁡x\sin x ou cos⁡x\cos x peut être négatif : le quadrant est indispensable.

1.3 Formules d'addition et de duplication

Formules d'addition Pour tous réels a,ba,b : cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b,cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b,\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b, sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b,sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b.\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\qquad \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b. Et pour la tangente (quand tout est défini) : tan⁡(a±b)=tan⁡a±tan⁡b1∓tan⁡atan⁡b\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.
Mémoriser les signes Dans le cosinus, les fonctions restent groupées par nature (cos⁡cos⁡\cos\cos, sin⁡sin⁡\sin\sin) et le signe intérieur est inversé. Dans le sinus, elles sont mélangées (sin⁡cos⁡\sin\cos, cos⁡sin⁡\cos\sin) et le signe est conservé : « le cosinus contrarie, le sinus suit ».

Origine géométrique. Pour M(cos⁡a,sin⁡a)M(\cos a,\sin a) et N(cos⁡b,sin⁡b)N(\cos b,\sin b) sur le cercle unité, OM→⋅ON→=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=\cos a\cos b+\sin a\sin b ; mais aussi =OM×ON×cos⁡(a−b)=cos⁡(a−b)=OM\times ON\times\cos(a-b)=\cos(a-b). D'où cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.

Duplication En prenant b=ab=a : sin⁡(2a)=2sin⁡acos⁡a,cos⁡(2a)=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a,\sin(2a)=2\sin a\cos a,\qquad \cos(2a)=\cos^{2}a-\sin^{2}a=2\cos^{2}a-1=1-2\sin^{2}a, et tan⁡(2a)=2tan⁡a1−tan⁡2a\tan(2a)=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^{2}a}.
Linéarisation des carrés En isolant dans la duplication : cos⁡2a=1+cos⁡(2a)2,sin⁡2a=1−cos⁡(2a)2.\cos^{2}a=\dfrac{1+\cos(2a)}{2},\qquad \sin^{2}a=\dfrac{1-\cos(2a)}{2}. On en déduit l'angle triple : cos⁡(3a)=4cos⁡3a−3cos⁡a\cos(3a)=4\cos^{3}a-3\cos a, sin⁡(3a)=3sin⁡a−4sin⁡3a\sin(3a)=3\sin a-4\sin^{3}a.
Méthode — calculer une valeur exacte Décomposer l'angle en angles remarquables. Pour cos⁡π12\cos\dfrac{\pi}{12}, écrire π12=π3−π4\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}, appliquer cos⁡(a−b)\cos(a-b), puis remplacer par les valeurs exactes. Choisir une décomposition faisant intervenir 0,π6,π4,π3,π20,\tfrac\pi6,\tfrac\pi4,\tfrac\pi3,\tfrac\pi2.

1.4 Formules de transformation

Produit en somme cos⁡acos⁡b=12[cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b)],sin⁡asin⁡b=12[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)],\cos a\cos b=\tfrac12\big[\cos(a-b)+\cos(a+b)\big],\qquad \sin a\sin b=\tfrac12\big[\cos(a-b)-\cos(a+b)\big], sin⁡acos⁡b=12[sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)].\sin a\cos b=\tfrac12\big[\sin(a+b)+\sin(a-b)\big].
Somme en produit cos⁡p+cos⁡q=2cos⁡p+q2cos⁡p−q2,cos⁡p−cos⁡q=−2sin⁡p+q2sin⁡p−q2,\cos p+\cos q=2\cos\tfrac{p+q}{2}\cos\tfrac{p-q}{2},\qquad \cos p-\cos q=-2\sin\tfrac{p+q}{2}\sin\tfrac{p-q}{2}, sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2,sin⁡p−sin⁡q=2cos⁡p+q2sin⁡p−q2.\sin p+\sin q=2\sin\tfrac{p+q}{2}\cos\tfrac{p-q}{2},\qquad \sin p-\sin q=2\cos\tfrac{p+q}{2}\sin\tfrac{p-q}{2}.
Méthode — choisir le sens
  • Pour linéariser un produit ou une puissance : produit →\to somme.
  • Pour factoriser une somme/différence : somme →\to produit — forme idéale dans une équation, car un produit nul se sépare en plusieurs cas.

Exemple. sin⁡xcos⁡(3x)=12[sin⁡(4x)−sin⁡(2x)]\sin x\cos(3x)=\tfrac12\big[\sin(4x)-\sin(2x)\big], et cos⁡(5x)−cos⁡x=−2sin⁡(3x)sin⁡(2x)\cos(5x)-\cos x=-2\sin(3x)\sin(2x).

1.5 Transformation de acos⁡x+bsin⁡xa\cos x+b\sin x

Forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi) Soient a,ba,b non tous deux nuls et R=a2+b2R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Il existe φ\varphi tel que cos⁡φ=aR\cos\varphi=\dfrac aR et sin⁡φ=bR\sin\varphi=\dfrac bR, et pour tout réel xx : acos⁡x+bsin⁡x=Rcos⁡(x−φ).a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi). (Justification : R(cos⁡φcos⁡x+sin⁡φsin⁡x)=Rcos⁡(x−φ)R(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x)=R\cos(x-\varphi).)
Encadrement et extremums Puisque −1≤cos⁡(x−φ)≤1-1\leq\cos(x-\varphi)\leq1 : −a2+b2≤acos⁡x+bsin⁡x≤a2+b2.-\sqrt{a^{2}+b^{2}}\leq a\cos x+b\sin x\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Le maximum est RR, le minimum −R-R.
Déterminer correctement φ\varphi Calculer RR, puis résoudre simultanément cos⁡φ=aR\cos\varphi=\dfrac aR et sin⁡φ=bR\sin\varphi=\dfrac bR, et contrôler le quadrant de φ\varphi grâce aux signes de aa et bb. N'utiliser que le cosinus de φ\varphi peut conduire au mauvais quadrant.

1.6 Équations trigonométriques

Équations de référence Pour tous réels x,αx,\alpha et k∈Zk\in\mathbb{Z} : cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=α+2kπ ou x=−α+2kπ,\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi, sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ ou x=π−α+2kπ,\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi, tan⁡x=tan⁡α  ⟺  x=α+kπ.\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi.
Existence des solutions Pour cos⁡x=m\cos x=m ou sin⁡x=m\sin x=m : si ∣m∣>1|m|>1, aucune solution réelle ; si ∣m∣≤1|m|\leq1, chercher α\alpha tel que cos⁡α=m\cos\alpha=m (resp. sin⁡α=m\sin\alpha=m) puis appliquer la formule de référence.
Méthode — résoudre sur ℝ puis sur un intervalle
  1. préciser le domaine si l'expression contient une tangente ou un quotient ;
  2. transformer ou factoriser pour obtenir une équation de référence ;
  3. écrire toutes les familles de solutions avec k∈Zk\in\mathbb{Z} ;
  4. si un intervalle est imposé, encadrer kk dans chaque famille et ne garder que les valeurs de l'intervalle ;
  5. vérifier les bornes lorsque l'intervalle est ouvert ou semi-ouvert.

Exemple. cos⁡(2x)=cos⁡π3  ⟺  2x=±π3+2kπ\cos(2x)=\cos\dfrac{\pi}{3}\iff 2x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, d'où x=π6+kπx=\dfrac{\pi}{6}+k\pi ou x=−π6+kπ, k∈Zx=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

Erreurs fréquentes à éviter
  • Une mesure d'angle n'est pas unique : ne pas oublier les 2kπ2k\pi (ou kπk\pi) sur R\mathbb{R}.
  • sin⁡2x=∣sin⁡x∣\sqrt{\sin^{2}x}=|\sin x|, et non toujours sin⁡x\sin x.
  • tan⁡x\tan x n'est pas définie lorsque x=π2+kπx=\dfrac\pi2+k\pi.
  • Dans sin⁡x=sin⁡α\sin x=\sin\alpha, la 2ᵉ famille est x=π−α+2kπx=\pi-\alpha+2k\pi, pas −α+2kπ-\alpha+2k\pi.
  • Avant de choisir le signe d'une racine, toujours repérer le quadrant.
L'essentiel du chapitre
  • Addition : « le cos contrarie, le sin suit » pour les signes.
  • Duplication : cos⁡2a\cos 2a a trois formes — choisir celle qui simplifie ; d'où la linéarisation cos⁡2a=1+cos⁡2a2\cos^{2}a=\tfrac{1+\cos2a}2, sin⁡2a=1−cos⁡2a2\sin^{2}a=\tfrac{1-\cos2a}2.
  • Produit →\to somme pour linéariser ; somme →\to produit pour factoriser (donc résoudre).
  • acos⁡x+bsin⁡x=Rcos⁡(x−φ)a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi), R=a2+b2R=\sqrt{a^{2}+b^{2}} : donne max, min et résout les équations.
  • Équations : se ramener à cos⁡x=cos⁡α\cos x=\cos\alpha (etc.), écrire toutes les solutions, puis filtrer selon l'intervalle.

2 · Exercices résolus

Valeur exacte

Exercice 1

Calculer cos⁡π12\cos\dfrac{\pi}{12} à l'aide d'une formule d'addition.

Voir la correction

On écrit π12=π3−π4\dfrac{\pi}{12}=\dfrac\pi3-\dfrac\pi4, puis cos⁡(π3−π4)=cos⁡π3cos⁡π4+sin⁡π3sin⁡π4=12⋅22+32⋅22=2+64. ■\cos\Big(\tfrac\pi3-\tfrac\pi4\Big)=\cos\tfrac\pi3\cos\tfrac\pi4+\sin\tfrac\pi3\sin\tfrac\pi4=\tfrac12\cdot\tfrac{\sqrt2}2+\tfrac{\sqrt3}2\cdot\tfrac{\sqrt2}2=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.\ \blacksquare

Équation de référence

Exercice 2

Résoudre dans [0,2π[[0,2\pi[ l'équation 2cos⁡x−1=02\cos x-1=0.

Voir la correction

2cos⁡x−1=0  ⟺  cos⁡x=12=cos⁡π32\cos x-1=0\iff\cos x=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3, donc x=π3+2kπx=\dfrac\pi3+2k\pi ou x=−π3+2kπ, k∈Zx=-\dfrac\pi3+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

Dans [0,2π[[0,2\pi[ : x=π3x=\dfrac\pi3 et x=−π3+2π=5π3x=-\dfrac\pi3+2\pi=\dfrac{5\pi}3. Ensemble des solutions : {π3, 5π3}\left\{\dfrac\pi3,\ \dfrac{5\pi}3\right\}. ■\blacksquare

Forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi)

Exercice 3

Écrire cos⁡x+3 sin⁡x\cos x+\sqrt3\,\sin x sous la forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi), puis résoudre cos⁡x+3 sin⁡x=1\cos x+\sqrt3\,\sin x=1 dans [0,2π[[0,2\pi[.

Voir la correction

R=12+(3)2=2R=\sqrt{1^{2}+(\sqrt3)^{2}}=2, et cos⁡φ=12\cos\varphi=\dfrac12, sin⁡φ=32\sin\varphi=\dfrac{\sqrt3}2 donnent φ=π3\varphi=\dfrac\pi3. Donc cos⁡x+3 sin⁡x=2cos⁡(x−π3)\cos x+\sqrt3\,\sin x=2\cos\Big(x-\dfrac\pi3\Big).

L'équation devient 2cos⁡(x−π3)=12\cos\Big(x-\dfrac\pi3\Big)=1, soit cos⁡(x−π3)=12=cos⁡π3\cos\Big(x-\dfrac\pi3\Big)=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3 : x−π3=π3+2kπ  ou  x−π3=−π3+2kπ,x-\tfrac\pi3=\tfrac\pi3+2k\pi\ \text{ ou }\ x-\tfrac\pi3=-\tfrac\pi3+2k\pi, d'où x=2π3+2kπx=\dfrac{2\pi}3+2k\pi ou x=2kπx=2k\pi. Dans [0,2π[[0,2\pi[ : x∈{0, 2π3}x\in\left\{0,\ \dfrac{2\pi}3\right\}. ■\blacksquare

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