QCM — Calcul trigonométrique

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Pour tout réel \(x\), l'identité fondamentale est :

   • A\(\cos^{2}x-\sin^{2}x=1\)
   • ✓\(\cos^{2}x+\sin^{2}x=1\)
   • C\(\cos^{2}x+\sin^{2}x=0\)
   • D\(\cos x+\sin x=1\)

   Remarque

   \(\cos^{2}x+\sin^{2}x=1\) pour tout \(x\) : c'est la relation trigonométrique fondamentale, conséquence du théorème de Pythagore dans le cercle.

2. Question 2

   \(\cos(a+b)\) est égal à :

   • ✓\(\cos a\cos b-\sin a\sin b\)
   • B\(\cos a\cos b+\sin a\sin b\)
   • C\(\sin a\cos b+\cos a\sin b\)
   • D\(\cos a+\cos b\)

   Remarque

   Formule d'addition : \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\). (Attention au signe « moins ».)

3. Question 3

   \(\sin(a+b)\) est égal à :

   • A\(\sin a\cos b-\cos a\sin b\)
   • ✓\(\sin a\cos b+\cos a\sin b\)
   • C\(\cos a\cos b+\sin a\sin b\)
   • D\(\sin a+\sin b\)

   Remarque

   \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\).

4. Question 4

   La formule de duplication \(\cos(2x)\) vaut :

   • ✓\(2\cos^{2}x-1\)
   • B\(2\cos x\)
   • C\(1-2\cos^{2}x\)
   • D\(2\sin x\cos x\)

   Remarque

   \(\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x\). La forme \(2\sin x\cos x\) est celle de \(\sin(2x)\).

5. Question 5

   \(\sin(2x)\) est égal à :

   • A\(2\sin x\)
   • ✓\(2\sin x\cos x\)
   • C\(\sin^{2}x-\cos^{2}x\)
   • D\(1-2\cos^{2}x\)

   Remarque

   Formule de duplication : \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\).

6. Question 6

   La linéarisation de \(\cos^{2}x\) donne :

   • ✓\(\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\)
   • B\(\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\)
   • C\(\dfrac{\cos(2x)}{2}\)
   • D\(1-\sin^{2}x\)

   Remarque

   À partir de \(\cos(2x)=2\cos^{2}x-1\) : \(\cos^{2}x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\). De même \(\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\).

7. Question 7

   La valeur de \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) est :

   • ✓\(\dfrac{1}{2}\)
   • B\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
   • C\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
   • D\(1\)

   Remarque

   \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\) (et \(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)) : une valeur remarquable à connaître.

8. Question 8

   L'équation \(\cos x=\cos\alpha\) a pour solutions :

   • A\(x=\alpha+2k\pi\) uniquement
   • ✓\(x=\pm\alpha+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)
   • C\(x=\alpha+k\pi\)
   • D\(x=\pi-\alpha+2k\pi\)

   Remarque

   \(\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

9. Question 9

   L'équation \(\sin x=\sin\alpha\) a pour solutions :

   • ✓\(x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\)
   • B\(x=\pm\alpha+2k\pi\)
   • C\(x=\alpha+k\pi\)
   • D\(x=-\alpha+k\pi\)

   Remarque

   \(\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

10. Question 10

    Le nombre \(\tan x\) est défini par \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\), à condition que :

    • A\(\sin x\ne 0\)
    • ✓\(\cos x\ne 0\)
    • C\(x\ne 0\)
    • D\(x>0\)

    Remarque

    \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) exige \(\cos x\ne 0\), c'est-à-dire \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\).