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1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 7

Limite d'une fonction

La limite décrit le comportement d'une fonction là où on ne peut pas simplement « remplacer x par sa valeur » : au bord de son domaine, tout près d'un point interdit, ou quand x file vers l'infini. C'est une idée subtile car elle parle de ce qui se passe autour d'un point, pas au point lui-même — une fonction peut très bien avoir une limite là où elle n'est même pas définie. Ce chapitre vous apprend à calculer une limite dans tous les cas de figure : substitution directe quand elle marche, limites à gauche et à droite pour repérer les asymptotes verticales, comportement à l'infini gouverné par le terme dominant, et surtout les techniques pour lever les quatre formes indéterminées (factoriser, simplifier, multiplier par la quantité conjuguée, utiliser sin x ⁄ x → 1). Le théorème des gendarmes vient encadrer les cas rebelles. Tout se rejoint dans la lecture graphique : asymptotes verticales, horizontales, obliques et branches paraboliques. À ce niveau, on n'aborde ni la continuité ni le théorème des valeurs intermédiaires — ils attendent la 2ᵉ Bac.

1 · Résumé du cours

Étudier une limite, c'est décrire le comportement de f(x)f(x) lorsque xx s'approche d'un réel ou devient arbitrairement grand en valeur absolue. La limite ne décrit pas la valeur de la fonction au point considéré, mais ce qui se passe au voisinage de ce point. Elle sert notamment à prévoir les branches infinies et les asymptotes de la courbe.

1.1 Limite finie en un point

Voisinage · intervalle pointé Un voisinage d'un réel aa est un intervalle ouvert contenant aa. Un intervalle pointé de centre aa contient des points proches de aa, mais pas aa lui-même. Pour étudier lim⁡x→af(x)\displaystyle\lim_{x\to a}f(x), ff doit être définie près de aa, mais pas nécessairement en aa.
Limite finie Soit ff définie sur un intervalle pointé de centre aa et ℓ∈R\ell\in\mathbb{R}. On dit que f(x)f(x) tend vers ℓ\ell quand x→ax\to a si f(x)f(x) devient aussi proche que l'on veut de ℓ\ell dès que xx est suffisamment proche de aa. On écrit lim⁡x→af(x)=ℓ\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell, ce qui équivaut à lim⁡x→a∣f(x)−ℓ∣=0\displaystyle\lim_{x\to a}|f(x)-\ell|=0.
Unicité · fonctions usuelles Lorsqu'une limite existe, elle est unique. Pour tout réel aa : lim⁡x→axn=an (n∈N∗)\displaystyle\lim_{x\to a}x^{n}=a^{n}\ (n\in\mathbb{N}^*), lim⁡x→asin⁡x=sin⁡a\displaystyle\lim_{x\to a}\sin x=\sin a, lim⁡x→acos⁡x=cos⁡a\displaystyle\lim_{x\to a}\cos x=\cos a ; si a≥0a\geq0, lim⁡x→ax=a\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt a ; si cos⁡a≠0\cos a\neq0, lim⁡x→atan⁡x=tan⁡a\displaystyle\lim_{x\to a}\tan x=\tan a.
Substitution directe Si PP est un polynôme, lim⁡x→aP(x)=P(a)\displaystyle\lim_{x\to a}P(x)=P(a). Si Q(a)≠0Q(a)\neq0, lim⁡x→aP(x)Q(x)=P(a)Q(a)\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P(a)}{Q(a)}. C'est le premier calcul à essayer : il suffit tant qu'il ne produit ni forme indéterminée ni division par zéro.

Exemple. lim⁡x→−1(2x3−x+4)=3\displaystyle\lim_{x\to-1}(2x^{3}-x+4)=3 et lim⁡x→2x2+1x+3=1\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}+1}{x+3}=1.

La valeur f(a)f(a) et la limite en aa Ce sont deux choses différentes. f(x)=x2−1x−1f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1} n'est pas définie en 11, mais pour x≠1x\neq1, f(x)=x+1f(x)=x+1, donc lim⁡x→1f(x)=2\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=2. Une limite peut exister même si f(a)f(a) n'existe pas.

1.2 Limites latérales et limites infinies

Limites latérales lim⁡x→a+f(x)\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x) : xx tend vers aa en restant >a>a. lim⁡x→a−f(x)\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f(x) : en restant <a<a.
Existence d'une limite bilatérale lim⁡x→af(x)=ℓ  ⟺  lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=ℓ.\lim_{x\to a}f(x)=\ell\iff\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=\ell. Si les deux limites latérales diffèrent, la limite en aa n'existe pas.
Modèle de la fonction inverse lim⁡x→0+1x=+∞\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty, lim⁡x→0−1x=−∞\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac1x=-\infty : lim⁡x→01x\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac1x n'existe pas. Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^* : lim⁡x→0+1xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac1{x^{n}}=+\infty, et lim⁡x→0−1xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac1{x^{n}}=+\infty si nn pair, −∞-\infty si nn impair.
Méthode — signe près d'un zéro du dénominateur Pour P(x)Q(x)\dfrac{P(x)}{Q(x)} près de aa avec Q(a)=0Q(a)=0, P(a)≠0P(a)\neq0 : déterminer le signe de PP près de aa, puis séparément le signe de QQ à gauche et à droite, dire si Q→0+Q\to0^+ ou 0−0^-, et appliquer la règle des signes. « Le dénominateur tend vers 00 » ne suffit pas : son signe est indispensable.

1.3 Limites à l'infini

Limites de référence Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^* : lim⁡x→+∞xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{n}=+\infty ; lim⁡x→−∞xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{n}=+\infty si nn pair, −∞-\infty si nn impair ; lim⁡x→±∞1xn=0\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac1{x^{n}}=0 ; lim⁡x→+∞x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty. Le 00 peut être précisé en 0+0^+ ou 0−0^- si le signe joue un rôle.

Exemple. Lorsque x→−∞x\to-\infty : x4→+∞x^{4}\to+\infty, x3→−∞x^{3}\to-\infty, 1x3→0−\dfrac1{x^{3}}\to0^-.

1.4 Opérations sur les limites

Limites finies Si lim⁡f=ℓ\lim f=\ell et lim⁡g=ℓ′\lim g=\ell' (finies) : lim⁡(f+g)=ℓ+ℓ′\lim(f+g)=\ell+\ell', lim⁡(fg)=ℓℓ′\lim(fg)=\ell\ell', lim⁡(fn)=ℓn\lim(f^{n})=\ell^{n}. Si ℓ′≠0\ell'\neq0, lim⁡fg=ℓℓ′\lim\dfrac fg=\dfrac{\ell}{\ell'}. Si f≥0f\geq0 au voisinage et ℓ≥0\ell\geq0, lim⁡f=ℓ\lim\sqrt{f}=\sqrt\ell.
Calculs avec l'infini ℓ+(+∞)=+∞\ell+(+\infty)=+\infty, (+∞)+(+∞)=+∞(+\infty)+(+\infty)=+\infty (et symétriques). Si ℓ≠0\ell\neq0, le produit ℓ×(±∞)\ell\times(\pm\infty) est infini (règle des signes). Enfin ℓ±∞=0\dfrac{\ell}{\pm\infty}=0. Pour fg\dfrac{f}{g} avec f→ℓ>0f\to\ell>0 et g→0g\to0 : +∞+\infty si g→0+g\to0^+, −∞-\infty si g→0−g\to0^- (signes inversés si ℓ<0\ell<0).
Les quatre formes indéterminées ∞−∞,0×∞,∞∞,00.\infty-\infty,\qquad 0\times\infty,\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad \frac00. Une forme indéterminée ne veut pas dire que la limite n'existe pas : elle veut dire qu'il faut transformer l'expression avant d'appliquer les règles.

1.5 Méthodes pour lever une indétermination

Polynômes et fractions à l'infini À ±∞\pm\infty, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Pour une fraction rationnelle anxn+⋯bmxm+⋯\dfrac{a_nx^n+\cdots}{b_mx^m+\cdots}, même limite que anbmxn−m\dfrac{a_n}{b_m}x^{n-m} : 00 si n<mn<m, anbm\dfrac{a_n}{b_m} si n=mn=m, infini si n>mn>m. Réservé aux limites à l'infini.

Exemple. lim⁡x→−∞3x3−x+12x2+5=lim⁡x→−∞3x32x2=lim⁡x→−∞32x=−∞\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3x^{3}-x+1}{2x^{2}+5}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3x^{3}}{2x^{2}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac32x=-\infty.

Méthode — factoriser près d'un réel (F.I. 00\tfrac00) Vérifier que numérateur et dénominateur s'annulent en aa ; comme P(a)=0⇒(x−a)∣P(x)P(a)=0\Rightarrow (x-a)\mid P(x), factoriser puis simplifier x−ax-a pour x≠ax\neq a, et calculer la limite simplifiée. Ex. : x2−4x−2=x+2 (x≠2)\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2\ (x\neq2), donc lim⁡x→2x2−4x−2=4\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=4.
Méthode — quantité conjuguée Face à une racine donnant ∞−∞\infty-\infty ou 00\tfrac00, multiplier et diviser par la quantité conjuguée, via (A−B)(A+B)=A−B(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)=A-B. La différence de racines disparaît, ce qui permet de simplifier.
Limites trigonométriques de référence lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→0tan⁡xx=1,lim⁡x→01−cos⁡xx2=12.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac12. Il faut multiplier et diviser par l'argument pour faire apparaître exactement sin⁡uu\dfrac{\sin u}{u} ou tan⁡uu\dfrac{\tan u}{u} avec u→0u\to0.

Exemple. sin⁡(4x)x=4 sin⁡(4x)4x→4\dfrac{\sin(4x)}{x}=4\,\dfrac{\sin(4x)}{4x}\to4, et 1−cos⁡(3x)x2=9 1−cos⁡(3x)(3x)2→92\dfrac{1-\cos(3x)}{x^{2}}=9\,\dfrac{1-\cos(3x)}{(3x)^{2}}\to\dfrac92.

Ordre de décision
  1. tenter la substitution directe ;
  2. identifier la forme obtenue ;
  3. pas d'indétermination ⇒\Rightarrow règles de calcul et de signes ;
  4. indétermination ⇒\Rightarrow transformation adaptée (terme dominant, factorisation, conjuguée, identité trigo, encadrement) ;
  5. vérifier le domaine et, près d'un zéro du dénominateur, étudier les deux côtés.

1.6 Limites et ordre

Conservation de l'ordre Si f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x) au voisinage et si les deux limites finies existent, alors lim⁡f≤lim⁡g\lim f\leq\lim g. En particulier, f≥0f\geq0 au voisinage ⇒\Rightarrow sa limite ℓ≥0\ell\geq0.
Théorème des gendarmes Si g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x) au voisinage et lim⁡g=lim⁡h=ℓ\lim g=\lim h=\ell, alors lim⁡f=ℓ\displaystyle\lim f=\ell. Valable en un réel, à gauche, à droite, en +∞+\infty ou −∞-\infty. Comparaison à l'infini : f≥gf\geq g et g→+∞⇒f→+∞g\to+\infty\Rightarrow f\to+\infty ; f≤gf\leq g et g→−∞⇒f→−∞g\to-\infty\Rightarrow f\to-\infty.

Image mentale. Deux « gendarmes » gg et hh encadrent ff et convergent vers la même limite ℓ\ell : ff, coincée entre eux, est forcée de tendre vers ℓ\ell.

Encadrer une fonction trigonométrique −1≤sin⁡x≤1-1\leq\sin x\leq1 et −1≤cos⁡x≤1-1\leq\cos x\leq1 sont précieuses. Pour x>0x>0 : −1x≤cos⁡xx≤1x-\dfrac1x\leq\dfrac{\cos x}{x}\leq\dfrac1x, et comme les bornes tendent vers 00, les gendarmes donnent cos⁡xx→0\dfrac{\cos x}{x}\to0.

1.7 Asymptotes et branches infinies

Asymptotes verticale et horizontale Si une limite latérale de ff en aa est infinie, la droite x=ax=a est asymptote verticale à Cf\mathcal{C}_f. Si lim⁡x→±∞f(x)=b\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b (fini), la droite y=by=b est asymptote horizontale au voisinage correspondant.
Asymptote oblique Δ:y=ax+b\Delta:y=ax+b (a≠0a\neq0) est asymptote oblique en ±∞\pm\infty si lim⁡x→±∞(f(x)−(ax+b))=0\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0. On la recherche par a=lim⁡x→±∞f(x)x,b=lim⁡x→±∞(f(x)−ax).a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x,\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-ax\big).
Branches paraboliques Si f(x)→±∞f(x)\to\pm\infty : f(x)x→0\dfrac{f(x)}x\to0 ⇒\Rightarrow branche parabolique de direction (Ox)(Ox) ; f(x)x→±∞\dfrac{f(x)}x\to\pm\infty ⇒\Rightarrow direction (Oy)(Oy) ; f(x)x→a≠0\dfrac{f(x)}x\to a\neq0 mais f(x)−ax→±∞f(x)-ax\to\pm\infty ⇒\Rightarrow direction y=axy=ax.
Méthode — position par rapport à une asymptote Étudier le signe de f(x)−(ax+b)f(x)-(ax+b) : la courbe est au-dessus de Δ\Delta là où c'est positif, au-dessous là où c'est négatif.
L'essentiel du chapitre
  • Limite en un point : distinguer gauche et droite si un dénominateur s'annule (asymptote verticale).
  • Limite à l'infini : polynôme ∼\sim terme dominant ; fraction rationnelle ∼\sim quotient des termes dominants.
  • Formes indéterminées ∞−∞, 0×∞, ∞∞, 00\infty-\infty,\ 0\times\infty,\ \tfrac\infty\infty,\ \tfrac00 : factoriser, simplifier ou conjuguer.
  • Trigo : sin⁡xx→1\dfrac{\sin x}{x}\to1, 1−cos⁡xx2→12\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}\to\dfrac12.
  • Gendarmes : encadrer ff entre deux fonctions de même limite.

2 · Exercices résolus

Quantité conjuguée

Exercice 1

Calculer lim⁡x→+∞(x2+x−x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^{2}+x}-x\big).

Voir la correction

C'est une F.I. ∞−∞\infty-\infty. On multiplie par la quantité conjuguée : x2+x−x=(x2+x)−x2x2+x+x=xx2+x+x.\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac{(x^{2}+x)-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x}+x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}. En factorisant x2+x=x1+1x\sqrt{x^{2}+x}=x\sqrt{1+\tfrac1x} (pour x>0x>0) : =xx(1+1x+1)=11+1x+1→x→+∞12. ■=\dfrac{x}{x\big(\sqrt{1+\tfrac1x}+1\big)}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tfrac1x}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac{1}{2}.\ \blacksquare

Limite trigonométrique

Exercice 2

Calculer lim⁡x→0sin⁡(5x)sin⁡(2x)\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)}.

Voir la correction

On fait apparaître deux motifs sin⁡□□\dfrac{\sin\square}{\square} : sin⁡(5x)sin⁡(2x)=sin⁡(5x)5x⏟→1⋅2xsin⁡(2x)⏟→1⋅52→x→052. ■\dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)}=\underbrace{\dfrac{\sin(5x)}{5x}}_{\to1}\cdot\underbrace{\dfrac{2x}{\sin(2x)}}_{\to1}\cdot\dfrac52\xrightarrow[x\to0]{}\dfrac52.\ \blacksquare

Gendarmes

Exercice 3

Montrer que lim⁡x→+∞cos⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x}=0.

Voir la correction

Pour tout x>0x>0, −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le1 donne −1x≤cos⁡xx≤1x-\dfrac1x\le\dfrac{\cos x}x\le\dfrac1x. Or lim⁡x→+∞( ⁣−1x)=lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Big(\!-\tfrac1x\Big)=\lim_{x\to+\infty}\tfrac1x=0. Par le théorème des gendarmes, lim⁡x→+∞cos⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}x=0. ■\blacksquare

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