QCM — Limite d'une fonction

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}\) vaut :

   • A\(+\infty\)
   • ✓\(0\)
   • C\(1\)
   • D\(-\infty\)

   Remarque

   Lorsque \(x\) devient très grand, \(\dfrac{1}{x}\) tend vers \(0\). La droite \(y=0\) est asymptote horizontale.

2. Question 2

   \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x}\) vaut :

   • A\(0\)
   • ✓\(+\infty\)
   • C\(-\infty\)
   • D\(1\)

   Remarque

   Pour \(x\to 0^{+}\) (valeurs positives proches de \(0\)), \(\dfrac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\). À gauche (\(0^{-}\)) la limite serait \(-\infty\).

3. Question 3

   La limite d'un polynôme en \(+\infty\) est égale à :

   • Ala limite de son terme de plus bas degré
   • ✓la limite de son terme de plus haut degré
   • Ctoujours \(+\infty\)
   • Dsa valeur en \(0\)

   Remarque

   En \(\pm\infty\), un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré (monôme dominant).

4. Question 4

   La forme \(\dfrac{0}{0}\) est :

   • Aégale à \(0\)
   • Bégale à \(1\)
   • ✓une forme indéterminée
   • Dégale à \(+\infty\)

   Remarque

   \(\dfrac{0}{0}\) est une forme indéterminée : il faut lever l'indétermination (factorisation, quantité conjuguée, etc.).

5. Question 5

   \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\) vaut :

   • A\(0\)
   • ✓\(4\)
   • C\(2\)
   • D\(+\infty\)

   Remarque

   Forme \(\frac00\) : on factorise \(x^{2}-4=(x-2)(x+2)\), d'où \(\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2\to 4\) quand \(x\to 2\).

6. Question 6

   La limite d'une somme de deux fonctions tendant vers \(+\infty\) et \(-\infty\) est :

   • A\(0\)
   • B\(+\infty\)
   • ✓une forme indéterminée « \(\infty-\infty\) »
   • D\(-\infty\)

   Remarque

   « \(+\infty-\infty\) » est une forme indéterminée. Il faut transformer l'expression (factoriser, etc.) pour conclure.

7. Question 7

   \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}\) vaut :

   • A\(0\)
   • ✓\(1\)
   • C\(+\infty\)
   • D\(\pi\)

   Remarque

   Limite trigonométrique de référence : \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\) (\(x\) en radians).

8. Question 8

   Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=3\), alors la droite d'équation \(y=3\) est :

   • Aune asymptote verticale
   • ✓une asymptote horizontale
   • Cune asymptote oblique
   • Dune tangente

   Remarque

   Une limite finie \(\ell\) en \(\pm\infty\) donne l'asymptote horizontale \(y=\ell\), ici \(y=3\).

9. Question 9

   Si \(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=+\infty\), alors la droite \(x=1\) est :

   • Aune asymptote horizontale
   • ✓une asymptote verticale
   • Cune asymptote oblique
   • Dsans lien avec la courbe

   Remarque

   Une limite infinie en une valeur finie \(a\) donne l'asymptote verticale \(x=a\), ici \(x=1\).

10. Question 10

    Théorème d'encadrement : si \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\lim g=\lim h=\ell\), alors :

    • ✓\(\lim_{x\to a} f(x)=\ell\)
    • B\(f\) n'a pas de limite
    • C\(\lim_{x\to a} f(x)=0\)
    • D\(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\)

    Remarque

    C'est le théorème des gendarmes : si \(f\) est coincée entre deux fonctions de même limite \(\ell\), alors \(\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).