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La limite d'une fonction ouvre l'analyse de 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales : elle décrit le comportement de f(x) au voisinage d'un point ou à l'infini, sans se confondre avec la valeur f(a). Cette fiche réunit les limites de référence, les limites à gauche et à droite, les quatre formes indéterminées, le théorème des gendarmes et le passage aux asymptotes verticale, horizontale et oblique, avec les branches paraboliques. Ici, une forme indéterminée ne se conclut jamais directement : on factorise, on simplifie ou on multiplie par la quantité conjuguée. Le réflexe clé : à l'infini, seul le terme dominant d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle compte.

lim
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Limite d'une fonction — Formes indéterminées, gendarmes, asymptotes

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1 · Définitions & asymptotes
Limite finie
lim⁡x→af(x)=ℓ\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell
f(x)f(x) proche de ℓ\ell
Gauche / droite
lim⁡a+=lim⁡a−=ℓ\displaystyle\lim_{a^+}=\lim_{a^-}=\ell
  ⟺  lim⁡af=ℓ\iff\lim_{a}f=\ell
Références ∞\infty
xn→+∞, 1xn→0x^n\to+\infty,\ \tfrac1{x^n}\to0
x→+∞\sqrt x\to+\infty
Asymptote verticale
lim⁡x→af=±∞\displaystyle\lim_{x\to a}f=\pm\infty
droite x=ax=a
Asymptote horizontale
lim⁡x→±∞f=ℓ\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f=\ell
droite y=ℓy=\ell
Asymptote oblique
lim⁡±∞ ⁣(f−(ax+b))=0\displaystyle\lim_{\pm\infty}\!\big(f-(ax+b)\big)=0
droite y=ax+by=ax+b
2 · Opérations, F.I. & composée
Opérations
  • lim⁡(f+g), lim⁡(fg), lim⁡fg\lim(f+g),\ \lim(fg),\ \lim\tfrac fg se combinent
  • quotient : dénominateur ≠0\neq0
Les 4 formes indéterminées
  • ∞−∞,0×∞,∞∞,00\infty-\infty,\quad 0\times\infty,\quad \dfrac\infty\infty,\quad \dfrac00
Réflexe : factoriser, simplifier ou conjuguer.
À l'infini
  • polynôme ∼\sim terme de plus haut degré
  • fraction ∼\sim quotient des termes dominants
2x2−x+3x2+5→2\dfrac{2x^2-x+3}{x^2+5}\to2
Substitution directe
  • essayer d'abord P(a), P(a)Q(a)P(a),\ \tfrac{P(a)}{Q(a)} si Q(a)≠0Q(a)\neq0
  • ni F.I. ni ÷0\div0 ⇒ c'est fini
Trigonométrie en 00
  • sin⁡xx→1, 1−cos⁡xx2→12, tan⁡xx→1\dfrac{\sin x}x\to1,\ \dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\tfrac12,\ \dfrac{\tan x}x\to1
faire apparaître sin⁡(□)□\dfrac{\sin(\square)}{\square}
Gendarmes & comparaison
  • g≤f≤hg\le f\le h et lim⁡g=lim⁡h=ℓ⇒lim⁡f=ℓ\lim g=\lim h=\ell\Rightarrow\lim f=\ell
  • f≥g, lim⁡g=+∞⇒lim⁡f=+∞f\ge g,\ \lim g=+\infty\Rightarrow\lim f=+\infty
3 · Formules & réflexes
xn→+∞x^n\to+\infty, 1xn→0\dfrac1{x^n}\to0
polynôme ∼\sim terme dominant
fraction ∼\sim quotient dominants
sin⁡xx→1\dfrac{\sin x}x\to1
1−cos⁡xx2→12\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac12
10+=+∞\dfrac1{0^+}=+\infty, 10−=−∞\dfrac1{0^-}=-\infty
oblique : a=lim⁡f(x)x, b=lim⁡(f−ax)a=\lim\dfrac{f(x)}x,\ b=\lim\big(f-ax\big)
gendarmes = encadrer
4 · Méthodes & branches infinies
Lever ∞−∞\infty-\infty (racines)
  • multiplier par la quantité conjuguée
x2+x−x→12\sqrt{x^2+x}-x\to\tfrac12
Lever 00\tfrac00 en un réel
  • P(a)=0⇒(x−a)∣PP(a)=0\Rightarrow(x-a)\mid P : factoriser, simplifier
x2−4x−2=x+2→4\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4
Limite trigonométrique
  • faire apparaître sin⁡(□)□\dfrac{\sin(\square)}{\square}
sin⁡5xsin⁡2x→52\dfrac{\sin5x}{\sin2x}\to\dfrac52
Position courbe / asymptote
  • signe de f(x)−(ax+b)f(x)-(ax+b)
  • >0>0 : au-dessus ; <0 : au-dessous
Branches paraboliques (f→±∞)(f\to\pm\infty)
  • f(x)x→0\tfrac{f(x)}x\to0 : direction (Ox)(Ox)
  • f(x)x→±∞\tfrac{f(x)}x\to\pm\infty : direction (Oy)(Oy)
  • f(x)x→a≠0, f−ax→±∞\tfrac{f(x)}x\to a\neq0,\ f-ax\to\pm\infty : dir. y=axy=ax
Signe près d'un zéro du dénominateur
  • Q(a)=0, P(a)≠0Q(a)=0,\ P(a)\neq0 : étudier Q→0+Q\to0^+ ou 0−0^-
  • régler le signe à gauche et à droite
★ Astuces géniales
  • Face à une F.I. : ne jamais conclure directement — factoriser, simplifier ou conjuguer.
  • À l'infini, seul le terme dominant compte (polynômes et fractions rationnelles).
  • Toute limite trigo en 00 se ramène à sin⁡(□)□→1\dfrac{\sin(\square)}{\square}\to1.
  • Une limite infinie en aa annonce une asymptote verticale x=ax=a ; une limite finie à l'infini une asymptote horizontale.
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