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La rotation est en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales l'isométrie qui fait tourner le plan d'un angle θ autour d'un centre Ω, en conservant longueurs, angles orientés, milieux et aires. Cette fiche réunit sa définition, les cas particuliers (identité, symétrie centrale pour θ = π), la composition de deux rotations de même centre, la conservation du barycentre, la recherche du centre par les médiatrices, et la formule analytique. Ce qui change, c'est uniquement la position : la figure image est superposable à la figure de départ. Le réflexe analytique à retenir : le quart de tour direct autour de l'origine envoie (x, y) sur (−y, x).

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

La rotation dans le plan — Isométrie, composition, formule analytique

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1 · Définition & cas particuliers
Rotation r(Ω,θ)r(\Omega,\theta)
ΩM′=ΩM\Omega M'=\Omega M
(ΩM→,ΩM′→)=θ [2π]\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta\ [2\pi]
Réciproque
r−1=r(Ω,−θ)r^{-1}=r(\Omega,-\theta)
même centre, angle opposé
Cas θ=0\theta=0
identité
seul Ω\Omega invariant sinon
Cas θ=π\theta=\pi
symétrie centrale
de centre Ω\Omega
Isométrie
M′N′=MNM'N'=MN
conserve les distances
Angles orientés
(A′B′→,A′C′→)=(AB→,AC→)\big(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\big)=\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)
conservés [2π][2\pi]
2 · Composition, conservations & centre
Composition (même centre)
  • r(Ω,β)∘r(Ω,α)=r(Ω,α+β)r(\Omega,\beta)\circ r(\Omega,\alpha)=r(\Omega,\alpha+\beta)
  • (r(Ω,θ))n=r(Ω,nθ)\big(r(\Omega,\theta)\big)^n=r(\Omega,n\theta)
nθ≡0 [2π]n\theta\equiv0\ [2\pi] ⇒ retour au départ
Tout se conserve, sauf la position
  • distances, aires, alignement, parallélisme
  • angles orientés (figure superposable)
Conserve le barycentre
  • r(bar{(A,α),(B,β)})=bar{(A′,α),(B′,β)}r(\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\})=\mathrm{bar}\{(A',\alpha),(B',\beta)\}
  • image du milieu = milieu des images
Déterminer le centre
  • Ω\Omega sur la médiatrice de [AA′][AA'] et de [BB′][BB']
  • angle θ≡(ΩA→,ΩA′→)\theta\equiv\big(\overrightarrow{\Omega A},\overrightarrow{\Omega A'}\big)
Piège : écrire les couples A↦A′A\mapsto A' avant de tracer une médiatrice.
3 · Réflexes
ΩM′=ΩM\Omega M'=\Omega M et (ΩM→,ΩM′→)=θ\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta
réciproque : angle −θ-\theta
θ=π\theta=\pi : symétrie centrale
composition : r(Ω,α+β)r(\Omega,\alpha+\beta)
isométrie : M′N′=MNM'N'=MN
image du milieu = milieu de l'image
image d'un cercle : même rayon
quart de tour direct : (x,y)↦(−y,x)(x,y)\mapsto(-y,x)
4 · Formule analytique & images
Autour de l'origine
  • x′=xcos⁡θ−ysin⁡θ, y′=xsin⁡θ+ycos⁡θx'=x\cos\theta-y\sin\theta,\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta
  • π2:(x,y)↦(−y,x)\tfrac\pi2:(x,y)\mapsto(-y,x) ; −π2:(y,−x)-\tfrac\pi2:(y,-x) ; π:(−x,−y)\pi:(-x,-y)
Centre Ω(a,b)\Omega(a,b)
  • x′=a+(x−a)cos⁡θ−(y−b)sin⁡θx'=a+(x-a)\cos\theta-(y-b)\sin\theta
  • y′=b+(x−a)sin⁡θ+(y−b)cos⁡θy'=b+(x-a)\sin\theta+(y-b)\cos\theta
Contrôle : ΩM′=ΩM\Omega M'=\Omega M détecte une erreur de signe.
Image d'une figure
  • droite → droite tournée de θ\theta ; segment → même longueur
  • cercle → centre r(I)r(I), même rayon
Outil de démonstration
  • construire l'image des points-clés (extrémités, centre)
  • exploiter longueurs / angles conservés
r(O,π2):F↦G⇒FOGr(O,\tfrac\pi2):F\mapsto G\Rightarrow FOG isocèle rectangle en OO
★ Astuces géniales
  • Une rotation est une isométrie : longueurs, angles, milieux, aires — tout est conservé, seule la position change.
  • Angle θ=π\theta=\pi ⇒ symétrie centrale ; deux rotations de même centre s'ajoutent : r(Ω,α+β)r(\Omega,\alpha+\beta).
  • Analytique : le quart de tour direct autour de OO est (x,y)↦(−y,x)(x,y)\mapsto(-y,x).
  • Outil de démonstration : prouver A′B′=ABA'B'=AB et l'angle (AB→,A′B′→)=θ(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'})=\theta sans coordonnées.
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