← Fiche précédente 8. La rotation dans le plan Fiche suivante → 10. Vecteurs de l'espace La dérivation est l'outil central de l'analyse en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales : le nombre dérivé f′(x₀) mesure la pente de la tangente et le sens de variation local d'une fonction. Cette fiche réunit la définition par le taux d'accroissement, l'équation de la tangente, l'approximation affine, la dérivabilité à gauche et à droite (point anguleux, tangente verticale), le tableau des dérivées usuelles, les opérations et la dérivée d'une composée, puis le lien entre le signe de f′ et les variations. Elle inclut aussi l'équation différentielle y″ + ω²y = 0, dont les solutions y = A cos(ωx) + B sin(ωx) décrivent un oscillateur. Le réflexe qui structure toute étude : dériver, étudier le signe de f′, puis dresser le tableau de variations.
f′
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales
Dérivation — Tangente, dérivées, variations
Math Excellence
1 · Nombre dérivé & dérivées usuelles
f ( x ) f ′ ( x ) sur x n n x n − 1 R 1 x − 1 x 2 R ∗ x 1 2 x ] 0 , + ∞ [ cos x − sin x R sin x cos x R tan x 1 + tan 2 x cos x ≠ 0 \begin{array}{|c|c|c|}\hline f(x) & f'(x) & \text{sur}\\ \hline x^n & n\,x^{n-1} & \mathbb{R}\\ \hline \tfrac1x & -\tfrac1{x^2} & \mathbb{R}^*\\ \hline \sqrt x & \tfrac1{2\sqrt x} & ]0,+\infty[\\ \hline \cos x & -\sin x & \mathbb{R}\\ \hline \sin x & \cos x & \mathbb{R}\\ \hline \tan x & 1+\tan^2x & \cos x\neq0\\ \hline\end{array} f ( x ) x n x 1 x cos x sin x tan x f ′ ( x ) n x n − 1 − x 2 1 2 x 1 − sin x cos x 1 + tan 2 x sur R R ∗ ] 0 , + ∞ [ R R cos x = 0
2 · Opérations & composée
Somme & produit
( u + v ) ′ = u ′ + v ′ (u+v)'=u'+v' ( u + v ) ′ = u ′ + v ′ ( k u ) ′ = k u ′ (ku)'=ku' ( k u ) ′ = k u ′ ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' ( uv ) ′ = u ′ v + u v ′
Inverse & quotient
( 1 v ) ′ = − v ′ v 2 \Big(\dfrac1v\Big)'=-\dfrac{v'}{v^2} ( v 1 ) ′ = − v 2 v ′ ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 \Big(\dfrac uv\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} ( v u ) ′ = v 2 u ′ v − u v ′ Piège : l'ordre
u ′ v − u v ′ u'v-uv' u ′ v − u v ′ au numérateur, pas l'inverse.
Composée
( v ∘ u ) ′ = u ′ × ( v ′ ∘ u ) (v\circ u)'=u'\times(v'\circ u) ( v ∘ u ) ′ = u ′ × ( v ′ ∘ u )
Composées usuelles
( u n ) ′ = n u ′ u n − 1 (u^n)'=n\,u'\,u^{n-1} ( u n ) ′ = n u ′ u n − 1 ( u ) ′ = u ′ 2 u (\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u} ( u ) ′ = 2 u u ′ ( cos u ) ′ = − u ′ sin u (\cos u)'=-u'\sin u ( cos u ) ′ = − u ′ sin u ( sin u ) ′ = u ′ cos u (\sin u)'=u'\cos u ( sin u ) ′ = u ′ cos u
3 · Formules & réflexes
( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)'=n\,x^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1 ( 1 x ) ′ = − 1 x 2 \big(\tfrac1x\big)'=-\tfrac1{x^2} ( x 1 ) ′ = − x 2 1 ( x ) ′ = 1 2 x (\sqrt x)'=\tfrac1{2\sqrt x} ( x ) ′ = 2 x 1 ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)'=-\sin x ( cos x ) ′ = − sin x ,
( sin x ) ′ = cos x (\sin x)'=\cos x ( sin x ) ′ = cos x ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' ( uv ) ′ = u ′ v + u v ′ ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 \big(\tfrac uv\big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} ( v u ) ′ = v 2 u ′ v − u v ′ ( u n ) ′ = n u ′ u n − 1 (u^n)'=n\,u'\,u^{n-1} ( u n ) ′ = n u ′ u n − 1 extremum
⇒ f ′ ( x 0 ) = 0 \Rightarrow f'(x_0)=0 ⇒ f ′ ( x 0 ) = 0
4 · Variations & équation
y ′ ′ + ω 2 y = 0 y''+\omega^2y=0 y ′′ + ω 2 y = 0
Signe de
f ′ f' f ′ → variations
f ′ ≥ 0 f'\ge0 f ′ ≥ 0 f ′ ≤ 0 f'\le0 f ′ ≤ 0 f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0 I I I Méthode reine : étudier le signe de
f ′ f' f ′ , dresser le tableau.
Extremum
f ′ f' f ′ x 0 x_0 x 0 + → − +\to- + → − − → + -\to+ − → +
Équation de tangente
calculer f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) écrire y = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ( x 0 ) y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) y = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ( x 0 )
Point anguleux / verticale
f g ′ ≠ f d ′ f'_g\neq f'_d f g ′ = f d ′ taux → ± ∞ \to\pm\infty → ± ∞ x \sqrt x x en
0 0 0 : demi-tangente verticale
Équation
y ′ ′ + ω 2 y = 0 y''+\omega^2y=0 y ′′ + ω 2 y = 0 solutions y ( x ) = A cos ( ω x ) + B sin ( ω x ) y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x) y ( x ) = A cos ( ω x ) + B sin ( ω x ) A , B A,B A , B oscillateur :
ω \omega ω pulsation
★ Astuces géniales
Le nombre dérivé = pente de la tangente = limite du taux de variation.
Dérivable ⇒ continue ; la contraposée (non continue ⇒ non dérivable) conclut sans calcul.Étudier une fonction = étudier le signe de f ′ f' f ′ , puis dresser le tableau de variations.
L'équation y ′ ′ + ω 2 y = 0 y''+\omega^2y=0 y ′′ + ω 2 y = 0 A cos ( ω x ) + B sin ( ω x ) A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x) A cos ( ω x ) + B sin ( ω x )
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