QCM — Dérivabilité

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) est la limite, quand \(x\to a\), de :

   • ✓\(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
   • B\(f(x)-f(a)\)
   • C\(\dfrac{x-a}{f(x)-f(a)}\)
   • D\(f(x)\,f(a)\)

   Remarque

   \(f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\), limite du taux d'accroissement : c'est la définition du nombre dérivé.

2. Question 2

   Le nombre dérivé \(f'(a)\) représente géométriquement :

   • Al'ordonnée à l'origine de la tangente
   • ✓le coefficient directeur de la tangente en \(A(a,f(a))\)
   • Cl'aire sous la courbe
   • Dla longueur de la courbe

   Remarque

   \(f'(a)\) est la pente (coefficient directeur) de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).

3. Question 3

   L'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) est :

   • ✓\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
   • B\(y=f(a)(x-a)+f'(a)\)
   • C\(y=f'(a)\,x\)
   • D\(y=f(a)\)

   Remarque

   La tangente passe par \((a,f(a))\) avec la pente \(f'(a)\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).

4. Question 4

   La dérivée de \(f(x)=x^{n}\) (\(n\in\mathbb{N}^{*}\)) est :

   • ✓\(n\,x^{n-1}\)
   • B\(x^{n-1}\)
   • C\(n\,x^{n}\)
   • D\((n-1)x^{n}\)

   Remarque

   \((x^{n})'=n\,x^{n-1}\). Par exemple \((x^{3})'=3x^{2}\).

5. Question 5

   La dérivée de \(f(x)=\sqrt{x}\) (sur \(]0,+\infty[\)) est :

   • ✓\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
   • B\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
   • C\(2\sqrt{x}\)
   • D\(\dfrac{1}{2x}\)

   Remarque

   \((\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) pour \(x>0\). La fonction n'est pas dérivable en \(0\).

6. Question 6

   La dérivée d'un produit \((uv)'\) vaut :

   • A\(u'v'\)
   • ✓\(u'v+uv'\)
   • C\(u'v-uv'\)
   • D\(u'v'+uv\)

   Remarque

   \((uv)'=u'v+uv'\). Attention, ce n'est pas \(u'v'\).

7. Question 7

   La dérivée du quotient \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'\) vaut :

   • ✓\(\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\)
   • B\(\dfrac{u'v+uv'}{v^{2}}\)
   • C\(\dfrac{u'}{v'}\)
   • D\(\dfrac{u'v-uv'}{v}\)

   Remarque

   \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\) (là où \(v\ne 0\)). L'ordre au numérateur est important.

8. Question 8

   Si \(f'(x)>0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est :

   • Astrictement décroissante sur \(I\)
   • ✓strictement croissante sur \(I\)
   • Cconstante sur \(I\)
   • Dnon monotone

   Remarque

   Le signe de la dérivée donne le sens de variation : \(f'>0\) sur \(I\Rightarrow f\) strictement croissante sur \(I\).

9. Question 9

   En un extremum local intérieur où \(f\) est dérivable, on a nécessairement :

   • A\(f'(a)=1\)
   • ✓\(f'(a)=0\)
   • C\(f(a)=0\)
   • D\(f'(a)>0\)

   Remarque

   En un extremum local à l'intérieur du domaine, la tangente est horizontale : \(f'(a)=0\) (condition nécessaire, la dérivée doit de plus changer de signe).

10. Question 10

    La dérivée de la composée \((g\circ u)(x)=g(u(x))\) est :

    • ✓\(u'(x)\,g'(u(x))\)
    • B\(g'(x)\,u'(x)\)
    • C\(g'(u(x))\)
    • D\(u'(x)\,g'(x)\)

    Remarque

    Règle de dérivation en chaîne : \((g\circ u)'=u'\times(g'\circ u)\), soit \(u'(x)\,g'(u(x))\).