Fiche de révision — Vecteurs de l'espace · 1ʳᵉ Bac Sc. Exp.

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Le calcul vectoriel dans l'espace prolonge en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales celui du plan : la relation de Chasles, la colinéarité et le barycentre restent valables, et la troisième dimension fait apparaître la coplanarité. Cette fiche réunit les règles du calcul vectoriel, la caractérisation d'une droite par un point et un vecteur directeur, celle d'un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires, la notion de base de l'espace (trois vecteurs non coplanaires) et le parallélisme des droites et des plans. La distinction clé à ne jamais perdre de vue : colinéaires concerne deux vecteurs, coplanaires en concerne trois. La bonne question du parallélisme change selon les objets : directeurs colinéaires pour deux droites, combinaison linéaire pour une droite et un plan, les deux directions pour deux plans.

u⃗

Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Vecteurs de l'espace — Colinéarité, coplanarité, parallélisme

Math Excellence

1 · Vecteurs & sous-espaces

Vecteur

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

ABCD

parallélogramme

Relation de Chasles

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

comme dans le plan

Colinéarité

\vec v=k\,\vec u

même direction

Droite

\overrightarrow{AM}=t\,\vec u

point + directeur

Plan

\overrightarrow{AM}=s\,\vec u+t\,\vec v

\vec u,\vec v

non colinéaires

Base de l'espace

\vec x=a\vec u+b\vec v+c\vec w

3 vect. non coplanaires

2 · Colinéarité & coplanarité

Alignement & parallélisme

$A,B,C$ alignés $\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ colinéaires
$(AB)\parallel(CD)\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ colinéaires

Vecteurs coplanaires

$\vec u,\vec v,\vec w$ coplanaires $\iff\vec w=a\vec u+b\vec v$
(avec $\vec u,\vec v$ non colinéaires)

Idée : coplanaires = ils « tiennent » dans un même plan.

Points coplanaires

$A,B,C,D$ coplanaires $\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ coplanaires
$\iff\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$ (si $A,B,C$ non alignés)

Base de l'espace

3 vecteurs non coplanaires forment une base
tout vecteur s'écrit alors de façon unique

a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec0\iff a=b=c=0

3 · Formules & réflexes

Chasles :

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

colinéaires :

\vec v=k\vec u

alignés :

\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}

colinéaires

droite :

\overrightarrow{AM}=t\vec u

plan :

\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v

coplanaires :

\vec w=a\vec u+b\vec v

base : 3 vect. non coplanaires

milieu

I

\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0

4 · Parallélisme dans l'espace

Deux droites

$D(A,\vec u)\parallel\Delta(B,\vec v)\iff\vec v=k\vec u$
confondues si $B\in D$ , sinon strictement parallèles

Droite & plan

direction de $D$ parallèle à $P(B,\vec v,\vec w)\iff\vec u=a\vec v+b\vec w$
tester un point $A$ : $A\in P\Rightarrow D\subset P$ ; sinon strictement $\parallel$

Piège : direction parallèle n'exclut pas que

D

soit incluse dans

P

Deux plans

$P\parallel Q\iff$ les deux directions de $Q$ sont combinaisons de celles de $P$
une seule direction commune ne suffit pas

Décomposer & milieux

dans une base $(\vec u,\vec v,\vec w)$ , identifier les coefficients (Chasles)
$I$ milieu $\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0$

tétraèdre :

\overrightarrow{IJ}=\tfrac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})

★ Astuces géniales

Tout le calcul vectoriel du plan (Chasles, colinéarité, barycentre) reste valable dans l'espace.
Colinéaires (2 vecteurs) → droite ; coplanaires (3 vecteurs) → un même plan les contient.
La bonne question du parallélisme : directeurs colinéaires ? une combinaison linéaire ? les deux directions ?
Trois vecteurs non coplanaires forment une base : tout vecteur s'y écrit de façon unique.

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