1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 10

Vecteurs de l'espace

On quitte le plan pour l'espace à trois dimensions — mais rassurez-vous, presque tout ce que vous savez déjà se transporte tel quel : relation de Chasles, somme de vecteurs, multiplication par un réel, colinéarité, barycentre. Tout ce calcul reste valable dans chaque plan de l'espace. La vraie nouveauté, c'est une notion qui n'existait pas dans le plan : la coplanarité, c'est-à-dire le fait pour trois vecteurs d'« habiter » un même plan. Elle se traduit par une écriture simple, w = a·u + b·v, et devient l'outil qui caractérise les plans exactement comme la colinéarité caractérise les droites. Ce chapitre vous apprend à décomposer un vecteur dans une base de l'espace (trois vecteurs non coplanaires), à prouver qu'un point est aligné, que quatre points sont coplanaires, et à étudier tous les cas de parallélisme — deux droites, une droite et un plan, deux plans — sans jamais recourir aux coordonnées. C'est le socle géométrique sur lequel se construira ensuite la géométrie analytique de l'espace.

1 · Résumé du cours

Dans chaque plan de l'espace, les règles du calcul vectoriel restent les mêmes que dans le plan : relation de Chasles, somme, multiplication par un réel et colinéarité. La troisième dimension fait apparaître une notion nouvelle, la coplanarité, qui permet de caractériser les plans et d'étudier le parallélisme des droites et des plans.

1.1 Vecteurs de l'espace et calcul vectoriel

Définition

Soient $A$ et $B$ deux points de l'espace.

Si $A\neq B$ , le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par la direction de la droite $(AB)$ , le sens de $A$ vers $B$ et la norme $AB$ .
Si $A=B$ , on obtient le vecteur nul : $\overrightarrow{AA}=\vec 0$ .

Tout couple $(M,N)$ tel que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$ est un représentant du même vecteur.

Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs non nuls sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. En particulier :

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff ABCD\text{ est un parallélogramme}$

Attention à l'ordre des lettres

Dans le parallélogramme $ABCD$ , on a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ . En revanche, $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$ .

Règles fondamentales

Pour tous vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$ et tous réels $a,b$ :

$\vec u+\vec v=\vec v+\vec u,\qquad (\vec u+\vec v)+\vec w=\vec u+(\vec v+\vec w),$

$\vec u+\vec 0=\vec u,\qquad \vec u+(-\vec u)=\vec 0,$

$a(\vec u+\vec v)=a\vec u+a\vec v,\qquad (a+b)\vec u=a\vec u+b\vec u,\qquad a(b\vec u)=(ab)\vec u.$

De plus, $a\vec u=\vec 0$ si et seulement si $a=0$ ou $\vec u=\vec 0$ .

Relation de Chasles

Pour tous points $A,B,C$ de l'espace : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

On en déduit $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0$ .

Combinaison linéaire

Une expression de la forme $a_1\vec u_1+a_2\vec u_2+\cdots+a_n\vec u_n,\qquad a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R},$ est appelée une combinaison linéaire des vecteurs $\vec u_1,\ldots,\vec u_n$ .

Exemple. Dans un parallélépipède $ABCDEFGH$ , avec les arêtes issues de $A$ , on a $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$ . La grande diagonale $\overrightarrow{AG}$ est une combinaison linéaire de trois vecteurs portés par les arêtes.

1.2 Vecteurs colinéaires et droites

Colinéarité

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $\vec v=k\vec u$ , ou lorsqu'un des deux vecteurs est nul. Si $\vec u\neq\vec 0$ :

$\vec u\text{ et }\vec v\text{ colinéaires}\iff \exists k\in\mathbb{R},\ \vec v=k\vec u$

Combinaison de deux vecteurs non colinéaires

Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, alors $a\vec u+b\vec v=\vec 0\iff a=b=0.$

Par conséquent, si $a\vec u+b\vec v=a'\vec u+b'\vec v$ , alors $a=a'$ et $b=b'$ .

Alignement et parallélisme

$A,B,C$ sont alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ;
les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Détermination vectorielle d'une droite

Soit $A$ un point et $\vec u\neq\vec 0$ . La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ est $D(A,\vec u)=\{M\mid \exists t\in\mathbb{R},\ \overrightarrow{AM}=t\vec u\}.$

Le couple $(A,\vec u)$ est un repère de cette droite. Tout vecteur non nul colinéaire à $\vec u$ en est aussi un vecteur directeur.

Méthode — démontrer un alignement ou un parallélisme

Choisir les deux vecteurs à comparer.
Les exprimer dans les mêmes vecteurs de référence, avec Chasles et les données de l'énoncé.
Obtenir une relation $\vec v=k\vec u$ .
Conclure : vecteurs colinéaires, donc points alignés ou droites parallèles.

Exemple. Dans un tétraèdre $ABCD$ , $M$ et $N$ sont définis par $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AC}$ . Alors $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont donc parallèles.

1.3 Vecteurs coplanaires et plans

Coplanarité

Trois vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$ sont coplanaires s'ils peuvent être représentés à partir d'une même origine $A$ par trois vecteurs $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ dont les extrémités $A,B,C,D$ appartiennent à un même plan.

Critère de coplanarité

Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, alors $\vec u,\vec v,\vec w\text{ coplanaires}\iff \exists a,b\in\mathbb{R},\ \vec w=a\vec u+b\vec v.$

Autrement dit, $\vec w$ appartient au plan vectoriel engendré par $\vec u$ et $\vec v$ .

Cas immédiat

Si deux des trois vecteurs sont colinéaires, alors les trois vecteurs sont coplanaires. Pour utiliser l'écriture $\vec w=a\vec u+b\vec v$ comme caractérisation, on choisit toujours deux vecteurs non colinéaires.

Quatre points coplanaires

Si $A,B,C$ ne sont pas alignés, alors $A,B,C,D\text{ coplanaires}\iff \exists a,b\in\mathbb{R},\ \overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}.$

Détermination vectorielle d'un plan

Soient $A$ un point et $\vec u,\vec v$ deux vecteurs non colinéaires. Le plan passant par $A$ et dirigé par $\vec u,\vec v$ est $P(A,\vec u,\vec v)=\{M\mid \exists (s,t)\in\mathbb{R}^2,\ \overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v\}.$

Le triplet $(A,\vec u,\vec v)$ est un repère du plan et $(\vec u,\vec v)$ une base de sa direction.

Déterminer un plan

Un plan de l'espace est déterminé de manière unique par l'une des données :

trois points non alignés ;
deux droites sécantes ;
deux droites strictement parallèles ;
une droite et un point qui n'appartient pas à cette droite.

Méthode — quatre points coplanaires

Vérifier que $A,B,C$ ne sont pas alignés.
Exprimer $\overrightarrow{AD}$ , puis chercher deux réels $a,b$ tels que $\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$ .
Conclure que $D\in(ABC)$ .

Autre stratégie : exhiber directement un plan connu qui contient les quatre points.

Exemple. Dans le parallélépipède $ABCDEFGH$ , $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}$ . Les vecteurs $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AG}$ sont coplanaires : les points $A,C,E,G$ sont dans un même plan.

1.4 Base de l'espace et décomposition

Base de l'espace

Trois vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$ non coplanaires forment une base de l'espace. Tout vecteur $\vec x$ s'écrit alors d'une manière unique sous la forme $\vec x=a\vec u+b\vec v+c\vec w,\qquad a,b,c\in\mathbb{R}.$

Les réels $a,b,c$ sont les composantes de $\vec x$ dans cette base.

Unicité des composantes

Si $(\vec u,\vec v,\vec w)$ est une base, alors $a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0\iff a=b=c=0.$

Deux vecteurs écrits dans une même base sont égaux $\iff$ leurs composantes sur $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ sont respectivement égales.

Méthode — décomposer un vecteur dans une base

Choisir trois vecteurs non coplanaires adaptés (souvent trois arêtes issues d'un même sommet).
Utiliser Chasles pour écrire chaque vecteur avec ces trois directions.
Regrouper les coefficients devant chaque vecteur de la base.
Pour une égalité de vecteurs, identifier les composantes et résoudre le système.

Exemple. Soit $(\vec u,\vec v,\vec w)$ une base, $\vec x=2\vec u-\vec v+3\vec w$ et $\vec y=-\vec u+4\vec v-2\vec w$ . Alors $2\vec x-\vec y=2(2\vec u-\vec v+3\vec w)-(-\vec u+4\vec v-2\vec w)=5\vec u-6\vec v+8\vec w.$

1.5 Parallélisme dans l'espace

Deux droites

Deux droites $D(A,\vec u)$ et $\Delta(B,\vec v)$ sont parallèles $\iff$ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires : $D\parallel\Delta\iff \exists k\in\mathbb{R}^*,\ \vec v=k\vec u.$ Elles sont alors confondues ou strictement parallèles.

Une droite et un plan

Soient $D(A,\vec u)$ et $P(B,\vec v,\vec w)$ avec $\vec v,\vec w$ non colinéaires. La direction de $D$ est parallèle à $P$ $\iff$ $\exists a,b\in\mathbb{R},\ \vec u=a\vec v+b\vec w.$ La droite est alors incluse dans $P$ ou strictement parallèle ; sinon elle est sécante au plan.

Méthode — inclusion ou parallélisme strict

Après avoir vérifié que $\vec u$ est combinaison linéaire de $\vec v$ et $\vec w$ , tester un point $A$ de la droite :

si $A\in P$ , alors $D\subset P$ ;
si $A\notin P$ , alors $D$ est strictement parallèle à $P$ .

Deux plans

Soient $P(A,\vec u,\vec v)$ et $Q(B,\vec u',\vec v')$ . Ils sont parallèles $\iff$ leurs directions sont identiques, c'est-à-dire si $\vec u'$ et $\vec v'$ sont tous deux combinaisons linéaires de $\vec u$ et $\vec v$ :

$P\parallel Q\iff \begin{cases}\vec u'=a\vec u+b\vec v,\\ \vec v'=c\vec u+d\vec v,\end{cases}\quad a,b,c,d\in\mathbb{R}.$

Les plans sont alors confondus ou strictement parallèles. Sinon, ils sont sécants suivant une droite.

La bonne question à se poser

Deux droites : les deux vecteurs directeurs sont-ils colinéaires ?
Droite et plan : le vecteur directeur est-il une combinaison linéaire des deux directions du plan ?
Deux plans : les deux directions du second appartiennent-elles au plan vectoriel du premier ?

Erreurs fréquentes

Ne pas confondre colinéaires (deux vecteurs) et coplanaires (trois vecteurs).
Dans la définition d'un plan, les deux vecteurs directeurs doivent être non colinéaires.
Pour deux plans parallèles, une seule direction commune ne suffit pas : comparer leurs deux directions.
Une droite de direction parallèle à un plan peut être incluse dans ce plan : tester un point.

L'essentiel du chapitre

Tout le calcul vectoriel du plan (Chasles, colinéarité, barycentre) reste valable dans l'espace.
Alignement : $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ colinéaires ; droite : $\overrightarrow{AM}=t\vec u$ .
Plan : $\overrightarrow{AM}=t\vec u+s\vec v$ (avec $\vec u,\vec v$ non colinéaires).
Coplanaires : $\vec w=a\vec u+b\vec v$ ; trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace.

2 · Exercices résolus

Chasles · milieux

Exercice 1

$ABCD$ est un tétraèdre. $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[CD]$ . Exprimer $\overrightarrow{IJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ .

Voir la correction

Par Chasles, en passant par $A$ puis $C$ , et par $B$ puis $D$ :

$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}\qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}.$

En additionnant : comme $I$ est le milieu de $[AB]$ , $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0$ ; comme $J$ est le milieu de $[CD]$ , $\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ}=\vec 0$ . Il reste :

$2\,\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{IJ}=\tfrac12\big(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\big).\ \blacksquare$

Coplanarité

Exercice 2

On donne $\vec u,\vec v,\vec w$ avec $\vec w=2\vec u-3\vec v$ . Ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ?

Voir la correction

$\vec w$ est une combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$ ( $a=2$ , $b=-3$ ). Par la caractérisation de la coplanarité, les trois vecteurs sont donc coplanaires. $\blacksquare$

Décomposition · base

Exercice 3

Dans le parallélépipède $ABCDEFGH$ , on pose $\vec u=\overrightarrow{AB}$ , $\vec v=\overrightarrow{AD}$ , $\vec w=\overrightarrow{AE}$ . Décomposer $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{DF}$ dans la base $(\vec u,\vec v,\vec w)$ , puis montrer que la droite $(DF)$ n'est pas parallèle à $(AG)$ .

Voir la correction

Le sommet $G$ est opposé à $A$ , donc $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\vec u+\vec v+\vec w.$

Pour $\overrightarrow{DF}$ , par Chasles $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}$ avec $\overrightarrow{DA}=-\vec v$ et $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}=\vec u+\vec w$ . Donc $\overrightarrow{DF}=\vec u-\vec v+\vec w.$

Si $(DF)\parallel(AG)$ , il existerait $k$ tel que $\overrightarrow{DF}=k\,\overrightarrow{AG}$ , soit $\vec u-\vec v+\vec w=k(\vec u+\vec v+\vec w)$ . Par unicité des composantes : $k=1$ (sur $\vec u$ ) et $-1=k$ (sur $\vec v$ ) — contradiction. Les deux droites ne sont pas parallèles. $\blacksquare$

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