1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 11

Étude des fonctions

C'est le chapitre de synthèse de l'analyse : on y rassemble tout ce qu'on a appris — domaine, limites, dérivée, variations — pour comprendre puis tracer la courbe d'une fonction, chaque calcul recevant une lecture géométrique. Le cœur nouveau, c'est le comportement à l'infini et aux bords du domaine : apprendre à reconnaître et déterminer les asymptotes (verticale, horizontale, oblique) et, quand la courbe part à l'infini sans se coller à une droite, les branches paraboliques, grâce à un petit arbre de décision qui s'appuie sur les limites de f(x) et de f(x)/x. Vous verrez aussi comment repérer un axe ou un centre de symétrie — ce qui permet de n'étudier qu'une moitié du domaine — et comment la dérivée seconde gouverne la concavité : f″ ≥ 0 pour une courbe convexe, f″ ≤ 0 pour une courbe concave, et un point d'inflexion là où f″ change de signe et où la courbe traverse sa tangente. Le chapitre se termine par un plan d'étude complet, la feuille de route à dérouler dans l'ordre pour ne rien oublier et produire un tracé cohérent avec tous les résultats.

1 · Résumé du cours

Étudier une fonction numérique consiste à réunir toutes les informations qui permettent de comprendre puis de construire sa courbe $\mathcal{C}_f$ : domaine, symétries, limites, variations, asymptotes, tangentes et concavité. Chaque résultat algébrique doit recevoir une interprétation géométrique précise.

1.1 Rappels sur la dérivation et les variations

Dérivée et monotonie

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'(x)\geq 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f'(x)\leq 0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Si $f'(x)=0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Lorsque $f'$ garde un signe strict, la monotonie est stricte.

Extremum relatif

Si $f$ est dérivable en un point intérieur $a$ et admet un extremum relatif en $a$ , alors $f'(a)=0$ .

La réciproque est fausse : $f'(a)=0$ fournit seulement un point critique. Si $f'$ passe de $+$ à $-$ en $a$ , $f(a)$ est un maximum relatif ; si $f'$ passe de $-$ à $+$ , $f(a)$ est un minimum relatif.

Tangente

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(a,f(a))$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a).$

Elle est horizontale lorsque $f'(a)=0$ . Une limite infinie du taux d'accroissement en une borne du domaine indique une demi-tangente verticale.

Méthode — construire un tableau de variations

Déterminer $D_f$ et les intervalles où $f$ est dérivable.
Calculer $f'(x)$ , puis étudier soigneusement son signe.
Placer les valeurs interdites et les zéros de $f'$ .
Déduire le sens de variation et calculer les valeurs ou les limites aux extrémités de chaque intervalle.

1.2 Branches infinies et asymptotes

Branche infinie

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une branche infinie lorsqu'au moins une des coordonnées du point $M(x,f(x))$ tend vers l'infini. Cela se produit :

lorsque $x$ tend vers une borne infinie du domaine ;
lorsque $x$ tend vers une borne finie $a$ et $f(x)\to\pm\infty$ .

Asymptote verticale

Si au moins une limite latérale de $f$ en $a$ est infinie, $\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty,$ alors la droite $x=a$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$ . Les deux limites latérales peuvent différer.

Asymptote horizontale

Si, au voisinage de l'un des deux infinis, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell,\qquad \ell\in\mathbb{R},$ alors la droite $y=\ell$ est une asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ au voisinage considéré.

Méthode — position par rapport à une droite

Pour comparer $\mathcal{C}_f$ à la droite $\Delta:y=ax+b$ , étudier le signe de $d(x)=f(x)-(ax+b)$ :

$d(x)>0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ ;
$d(x)<0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\Delta$ ;
$d(x)=0$ : $\mathcal{C}_f$ coupe $\Delta$ .

Cette étude reste nécessaire même lorsque $\Delta$ est une asymptote.

Asymptote oblique

La droite $\Delta:y=ax+b$ , avec $a\neq 0$ , est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $\pm\infty$ si $\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=0.$ Cela signifie que $f(x)=ax+b+h(x)$ avec $h(x)\to 0$ .

Détermination des coefficients

Lorsqu'une asymptote oblique existe, $a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-ax\bigr].$ Les deux limites doivent être finies et $a\neq 0$ .

Méthode — rechercher une asymptote oblique

Calculer $a=\lim f(x)/x$ au voisinage étudié.
Si $a\in\mathbb{R}^*$ , calculer $b=\lim(f(x)-ax)$ .
Si $b\in\mathbb{R}$ , conclure que $y=ax+b$ est asymptote.
Étudier ensuite le signe de $f(x)-(ax+b)$ pour situer la courbe.

Pour une fonction rationnelle, la division euclidienne du numérateur par le dénominateur fournit souvent directement $ax+b$ et un reste tendant vers $0$ .

Exemple. Pour $f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ , la division donne $f(x)=x+1+\dfrac{1}{x+1}$ . Comme $\dfrac{1}{x+1}\to 0$ , la droite $y=x+1$ est asymptote oblique aux deux infinis ; $\mathcal{C}_f$ est au-dessus pour $x>-1$ , au-dessous pour $x<-1$ .

Directions paraboliques

Si $f(x)\to\pm\infty$ quand $x\to\pm\infty$ , on étudie le quotient $f(x)/x$ :

si $\dfrac{f(x)}{x}\to 0$ : branche parabolique de direction l'axe $(Ox)$ ;
si $\dfrac{f(x)}{x}\to\pm\infty$ : branche parabolique de direction l'axe $(Oy)$ ;
si $\dfrac{f(x)}{x}\to a\neq 0$ et $f(x)-ax\to\pm\infty$ : branche parabolique de direction la droite $y=ax$ .

Exemple. Au voisinage de $+\infty$ : $\sqrt{x}$ donne $f/x=1/\sqrt{x}\to 0$ (direction $Ox$ ) ; $x^2$ donne $f/x=x\to+\infty$ (direction $Oy$ ) ; $x+\sqrt{x}$ donne $f/x\to 1$ et $f(x)-x=\sqrt{x}\to+\infty$ (direction $y=x$ , sans asymptote).

Méthode — arbre de décision à l'infini

Après avoir calculé $\lim f(x)$ :

limite finie $\ell$ : asymptote horizontale $y=\ell$ ;
limite infinie : calculer $\lim f(x)/x$ ;
quotient nul : direction $(Ox)$ ; quotient infini : direction $(Oy)$ ;
quotient $=a\neq 0$ : calculer $\lim(f(x)-ax)$ ; limite finie $b$ → asymptote $y=ax+b$ ; limite infinie → branche parabolique de direction $y=ax$ .

1.3 Éléments de symétrie

Axe de symétrie

La droite $x=a$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $\forall x\in D_f,\quad 2a-x\in D_f\qquad\text{et}\qquad f(2a-x)=f(x).$ De façon équivalente, $f(a-h)=f(a+h)$ . Pour $a=0$ , on retrouve le critère d'une fonction paire.

Centre de symétrie

Le point $\Omega(a,b)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $\forall x\in D_f,\quad 2a-x\in D_f\qquad\text{et}\qquad f(2a-x)+f(x)=2b.$ La seconde condition s'écrit aussi $f(a-h)+f(a+h)=2b$ . Pour $a=b=0$ , on retrouve le critère d'une fonction impaire.

Méthode — vérifier une symétrie

Vérifier que le domaine est symétrique par rapport à $a$ : $x\in D_f\Rightarrow 2a-x\in D_f$ .
Calculer $f(2a-x)$ , ou plus simplement $f(a-h)$ et $f(a+h)$ .
Comparer : égalité pour un axe, somme constante $2b$ pour un centre.
Réduire l'ensemble d'étude à une moitié du domaine, puis compléter par symétrie.

Exemple. Pour $f(x)=(x-2)^2+1$ , on a $f(2-h)=h^2+1=f(2+h)$ . Le domaine est $\mathbb{R}$ , symétrique par rapport à $2$ : la droite $x=2$ est axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ .

Domaine d'abord

Une identité algébrique seule ne suffit pas. Avant d'affirmer qu'il existe un axe ou un centre de symétrie, vérifier toujours que $a-h$ et $a+h$ appartiennent simultanément au domaine.

1.4 Concavité et points d'inflexion

Convexité et concavité

Soit $f$ dérivable sur $I$ .

$f$ est convexe sur $I$ si $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ .
$f$ est concave sur $I$ si $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de chacune de ses tangentes sur $I$ .

Critères par les dérivées

$f$ convexe sur $I$ $\iff$ $f'$ croissante sur $I$ ;
$f$ concave sur $I$ $\iff$ $f'$ décroissante sur $I$ .

Si $f$ est deux fois dérivable : $f''\geq 0\iff f\text{ convexe},\qquad f''\leq 0\iff f\text{ concave}.$

Opérations simples

la somme de deux fonctions convexes est convexe ;
si $\lambda>0$ , $\lambda f$ garde la concavité de $f$ ;
si $\lambda<0$ , $\lambda f$ échange convexité et concavité.

Point d'inflexion

Un point $A(a,f(a))$ est un point d'inflexion lorsque la courbe change de concavité en $A$ . Lorsque la tangente existe, la courbe la traverse en ce point.

Critère par la dérivée seconde

Si $f$ est deux fois dérivable au voisinage de $a$ , alors $A(a,f(a))$ est un point d'inflexion lorsque $f''$ change de signe en $a$ . On recherche $f''(a)=0$ , puis on vérifie le changement de signe. L'égalité $f''(a)=0$ seule ne suffit pas.

Méthode — étudier la concavité

Calculer $f''$ sur chaque intervalle où elle existe.
Résoudre $f''(x)=0$ et repérer les valeurs où $f''$ n'existe pas.
Étudier le signe de $f''$ : en déduire les intervalles de convexité et de concavité.
Ne retenir comme points d'inflexion que les points où la concavité change effectivement.

Ne pas confondre extremum et inflexion

Un extremum intérieur dérivable se cherche avec $f'$ et un changement de variation. Un point d'inflexion se cherche avec $f''$ et un changement de concavité. La tangente en un point d'inflexion n'est pas nécessairement horizontale.

1.5 Position relative de deux courbes

Comparer deux courbes

Soient $f,g$ sur un intervalle commun $I$ . Pour comparer $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ , on étudie le signe de $h(x)=f(x)-g(x)$ :

$h(x)>0$ : $\mathcal{C}_f$ au-dessus de $\mathcal{C}_g$ ;
$h(x)<0$ : $\mathcal{C}_f$ au-dessous de $\mathcal{C}_g$ ;
$h(x)=0$ : point commun d'abscisse $x$ .

Méthode — comparer deux courbes

Déterminer le domaine commun $D_f\cap D_g$ .
Réduire et factoriser $f(x)-g(x)$ .
Dresser son tableau de signe.
Traduire chaque signe par une position géométrique ; calculer les points d'intersection où la différence s'annule.

1.6 Plan complet d'étude d'une fonction

Démarche à suivre

déterminer précisément l'ensemble de définition $D_f$ ;
rechercher la parité, la périodicité, un axe ou un centre de symétrie, puis réduire l'ensemble d'étude ;
calculer les limites à toutes les bornes des intervalles de $D_f$ ;
étudier la continuité et la dérivabilité aux points particuliers ;
calculer $f'$ , étudier son signe, dresser le tableau de variations ;
déterminer les extremums et les images remarquables ;
identifier les asymptotes et les branches paraboliques ;
étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à ses asymptotes ;
déterminer les tangentes utiles, la concavité et les points d'inflexion ;
construire asymptotes, tangentes et points remarquables, puis tracer une courbe compatible avec tous les résultats.

Contrôle final du tracé

Vérifier que chaque branche respecte simultanément les limites, le tableau de variations, les positions par rapport aux asymptotes et la concavité. Un tracé qui contredit l'une de ces informations est faux, même s'il paraît plausible.

L'essentiel du chapitre

Asymptotes : verticale ( $\lim=\pm\infty$ en $a$ ), horizontale ( $\lim=\ell$ à l'infini), oblique ( $f(x)-(ax+b)\to 0$ ).
Branches paraboliques : $\frac{f(x)}{x}\to\pm\infty$ (dir. $Oy$ ) ou $\to a$ avec $f-ax\to\pm\infty$ (dir. $y=ax$ ).
Concavité : signe de $f''$ ; inflexion = $f''$ change de signe (la courbe traverse sa tangente).
Symétries : axe $x=a$ si $f(2a-x)=f(x)$ ; centre $(a,b)$ si $f(2a-x)+f(x)=2b$ .

2 · Exercices résolus

Asymptote oblique · symétrie

Exercice 1

Soit $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}$ . Montrer que la droite $y=x$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ , et que $O$ est centre de symétrie.

Voir la correction

On écrit $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ . Alors $f(x)-x=\dfrac{1}{x}\ \xrightarrow[x\to+\infty]{}\ 0,$ donc $y=x$ est asymptote oblique.

Pour $a=0,\ b=0$ : $f(-x)+f(x)=\big(-x-\tfrac1x\big)+\big(x+\tfrac1x\big)=0=2b$ , donc $O$ est centre de symétrie ( $f$ est impaire). $\blacksquare$

Concavité · inflexion

Exercice 2

Étudier la concavité de $f(x)=x^{3}-3x^{2}$ et déterminer son point d'inflexion.

Voir la correction

$f'(x)=3x^{2}-6x$ , puis $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ .

$f''<0$ sur $]-\infty,1[$ : $\mathcal{C}_f$ concave ;
$f''>0$ sur $]1,+\infty[$ : $\mathcal{C}_f$ convexe.

$f''$ change de signe en $x=1$ : le point $(1,f(1))=(1,-2)$ est un point d'inflexion. $\blacksquare$

Étude complète

Exercice 3

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$ . Déterminer $D_f$ , l'asymptote verticale, l'asymptote oblique, et la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à cette dernière.

Voir la correction

Domaine. $x-1\neq 0$ , donc $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

Division euclidienne. $x^2-x+1=(x-1)\cdot x+1$ , donc $f(x)=x+\dfrac{1}{x-1}.$

Asymptote verticale. Quand $x\to 1^+$ , $\dfrac{1}{x-1}\to+\infty$ et quand $x\to 1^-$ , $\dfrac{1}{x-1}\to-\infty$ : la droite $x=1$ est asymptote verticale.

Asymptote oblique. $f(x)-x=\dfrac{1}{x-1}\to 0$ en $\pm\infty$ : la droite $y=x$ est asymptote oblique.

Position. Le signe de $f(x)-x=\dfrac{1}{x-1}$ est celui de $x-1$ : pour $x>1$ , $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $y=x$ ; pour $x<1$ , au-dessous. $\blacksquare$

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