Géométrie dans l'espace

Si $\vec u(x,y,z)$, $\vec v(x',y',z')$ et $\lambda\in\mathbb{R}$ : $$\begin{aligned}\vec u=\vec v&\iff x=x',\ y=y',\ z=z',\\ \vec u+\vec v&=(x+x',\ y+y',\ z+z'),\\ \lambda\vec u&=(\lambda x,\ \lambda y,\ \lambda z).\end{aligned}$$ Tout se fait coordonnée par coordonnée.

Pour $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ : $$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$$ et le milieu $I$ de $[AB]$ : $$I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2},\ \frac{z_A+z_B}{2}\right).$$

$\vec u(x,y,z)$ et $\vec v(x',y',z')$ sont colinéaires si et seulement si leurs trois déterminants extraits sont nuls : $$xy'-x'y=0,\qquad xz'-x'z=0,\qquad yz'-y'z=0.$$ Cela équivaut à $\vec v=\lambda\vec u$ lorsque $\vec u\neq\vec 0$.

• échanger deux vecteurs change le signe du déterminant ;
• multiplier un vecteur par $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$ ;
• ajouter à un vecteur un multiple d'un autre ne change pas le déterminant ;
• si deux vecteurs sont colinéaires, le déterminant est nul.

$$\vec u,\vec v,\vec w\text{ coplanaires}\iff \det(\vec u,\vec v,\vec w)=0.$$ Si le déterminant est non nul, les trois vecteurs forment une base de l'espace.

De même, $A,B,C,D$ sont coplanaires $\iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=0$.

La droite $D$ passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ de vecteur directeur non nul $\vec u(a,b,c)$ est l'ensemble des $M(x,y,z)$ tels que $$D:\begin{cases}x=x_A+ta,\\ y=y_A+tb,\\ z=z_A+tc,\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.$$ Le réel $t$ est le paramètre ; une même droite a une infinité de représentations.

Si $A\neq B$, la droite $(AB)$ passe par $A$ et admet $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur : on remplace $(a,b,c)$ par $(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$.

Si $abc\neq 0$, on élimine $t$ : $$\frac{x-x_A}{a}=\frac{y-y_A}{b}=\frac{z-z_A}{c}.$$ Si une composante est nulle, on la traite séparément (par exemple $c=0$ donne $z=z_A$).

Une droite peut aussi être vue comme l'intersection de deux plans sécants : $$D:\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0.\end{cases}$$

Soient $A(x_A,y_A,z_A)$ et deux vecteurs non colinéaires $\vec u(a,b,c)$, $\vec v(a',b',c')$. Le plan $P(A,\vec u,\vec v)$ admet $$P:\begin{cases}x=x_A+sa+ta',\\ y=y_A+sb+tb',\\ z=z_A+sc+tc',\end{cases}\qquad (s,t)\in\mathbb{R}^2.$$ Deux paramètres indépendants sont nécessaires pour parcourir un plan.

Si $A,B,C$ ne sont pas alignés, le plan $(ABC)$ passe par $A$ et admet $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ comme vecteurs directeurs.

Tout plan admet une équation $$ax+by+cz+d=0,\qquad (a,b,c)\neq(0,0,0),$$ et réciproquement toute telle équation représente un plan. Multiplier tous les coefficients par un réel non nul ne change pas le plan.

De plus, $M(x,y,z)\in P(A,\vec u,\vec v)\iff \det(\overrightarrow{AM},\vec u,\vec v)=0$ ; développer ce déterminant donne l'équation $ax+by+cz+d=0$.

Dans $P:ax+by+cz+d=0$, un vecteur $\vec u(\alpha,\beta,\gamma)$ est un vecteur directeur si $$a\alpha+b\beta+c\gamma=0.$$ On peut fixer librement certaines composantes pour construire deux solutions non colinéaires, qui forment deux directions du plan.

Soient $D(A,\vec u)$ et $D'(B,\vec v)$.

• $\vec u,\vec v$ colinéaires : droites parallèles — confondues si $B\in D$, strictement parallèles sinon ;
• $\vec u,\vec v$ non colinéaires : sécantes si elles ont un point commun, non coplanaires sinon.

Dans ce dernier cas, $\det(\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v)=0\iff D$ et $D'$ sont coplanaires, donc sécantes.

Pour $D:x=x_A+t\alpha,\ y=y_A+t\beta,\ z=z_A+t\gamma$ et $P:ax+by+cz+d=0$, la substitution donne $$(a\alpha+b\beta+c\gamma)\,t+(ax_A+by_A+cz_A+d)=0.$$

• $a\alpha+b\beta+c\gamma\neq 0$ : solution unique, $D$ sécante à $P$ ;
• $=0$ et $A\in P$ : $D\subset P$ ;
• $=0$ et $A\notin P$ : $D$ strictement parallèle à $P$.

Pour $P:ax+by+cz+d=0$ et $Q:a'x+b'y+c'z+d'=0$ :

• $(a',b',c')$ non proportionnel à $(a,b,c)$ : plans sécants suivant une droite ;
• $(a',b',c')=\lambda(a,b,c)$ : plans parallèles — confondus si $d'=\lambda d$, strictement parallèles sinon.