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La géométrie analytique de l'espace traduit en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales toute configuration en calculs sur trois coordonnées. Cette fiche réunit les coordonnées d'un point et d'un vecteur, le milieu, le déterminant de deux puis de trois vecteurs, les tests de colinéarité et de coplanarité, la représentation paramétrique et cartésienne d'une droite et d'un plan, et l'étude des positions relatives. Le déterminant de trois vecteurs est l'outil central : nul, les vecteurs sont coplanaires ; non nul, ils forment une base de l'espace. Pour situer une droite et un plan, on reporte la paramétrisation dans l'équation ax + by + cz + d = 0 et l'on compte les solutions.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Géométrie analytique de l'espace — Déterminant, droites, plans

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1 · Coordonnées & déterminant
Coordonnées
OM→=xı⃗+yȷ⃗+zk⃗\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k
M(x,y,z)M(x,y,z)
Vecteur AB→\overrightarrow{AB}
(xB−xA, yB−yA, zB−zA)(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)
coordonnée par coordonnée
Milieu de [AB][AB]
(xA+xB2,yA+yB2,zA+zB2)\big(\tfrac{x_A+x_B}2,\tfrac{y_A+y_B}2,\tfrac{z_A+z_B}2\big)
moyenne des coordonnées
Déterminant 2×22\times2
∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
brique de base
Colinéarité
3 dét. 2×22\times2 nuls
xy′−x′y=0,…xy'-x'y=0,\dots
Coplanarité
det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)=0\det(\vec u,\vec v,\vec w)=0
≠0\neq0 : base de l'espace
2 · Droites & plans — représentations
Droite paramétrique
  • {x=xA+t ay=yA+t bz=zA+t c\begin{cases}x=x_A+t\,a\\ y=y_A+t\,b\\ z=z_A+t\,c\end{cases}
  • point AA + vecteur directeur u⃗(a,b,c)\vec u(a,b,c), même tt
Droite — autres formes
  • cartésienne (si abc≠0abc\neq0) : x−xAa=y−yAb=z−zAc\dfrac{x-x_A}{a}=\dfrac{y-y_A}{b}=\dfrac{z-z_A}{c}
  • ou intersection de deux plans sécants
Plan — deux formes
  • paramétrique : point + deux vecteurs non colinéaires
  • cartésienne : ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0, (a,b,c)≠(0,0,0)(a,b,c)\neq(0,0,0)
Plan par 3 points
  • A,B,CA,B,C non alignés : det⁡(AM→,AB→,AC→)=0\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0
  • développer ⇒ax+by+cz+d=0\Rightarrow ax+by+cz+d=0
Contrôle : vérifier que A,B,CA,B,C satisfont l'équation trouvée.
3 · Formules & réflexes
AB→(xB−xA,… )\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,\dots)
milieu = moyenne des coordonnées
∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
colinéaires : 3 dét. 2×22\times2 nuls
det⁡=0\det=0 : coplanaires
det⁡≠0\det\neq0 : base
droite : x=xA+ta,…x=x_A+ta,\dots
plan : ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
4 · Positions relatives
Deux droites
  • u⃗,v⃗\vec u,\vec v colinéaires : parallèles (confondues ou strictes)
  • sinon : sécantes (si coplanaires) ou non coplanaires
det⁡(AB→,u⃗,v⃗)=0  ⟺  \det(\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v)=0\iff coplanaires
Deux plans
  • (a,b,c)(a,b,c) proportionnels : parallèles
  • sinon : sécants selon une droite
Droite & plan
  • reporter la paramétrisation dans ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
  • 1 sol → sécante ; 0 → strictement ∥\parallel ; ∞\infty → incluse
Tester 4 points
  • calculer det⁡(AB→,AC→,AD→)\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})
  • nul ⇒\Rightarrow coplanaires
★ Astuces géniales
  • Tout se calcule coordonnée par coordonnée (vecteur AB→\overrightarrow{AB}, milieu).
  • Le déterminant est le test de « vraie 3D » : nul → coplanaires, non nul → base.
  • Position droite/plan : reporter la paramétrisation dans l'équation, puis compter les solutions.
  • Deux droites non parallèles ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent être non coplanaires.
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