QCM — Géométrie dans l'espace

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Dans un repère de l'espace, un point est repéré par :

   • Adeux coordonnées \((x,y)\)
   • ✓trois coordonnées \((x,y,z)\)
   • Cune seule coordonnée
   • Dquatre coordonnées

   Remarque

   L'espace est de dimension 3 : chaque point \(M\) est repéré par un triplet \((x,y,z)\) dans le repère \((O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\).

2. Question 2

   Le milieu \(I\) de \([AB]\) a pour coordonnées :

   • ✓\(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2},\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\)
   • B\((x_A+x_B,\,y_A+y_B,\,z_A+z_B)\)
   • C\((x_B-x_A,\,y_B-y_A,\,z_B-z_A)\)
   • D\((x_A,\,y_A,\,z_A)\)

   Remarque

   Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées : \(I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2},\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\).

3. Question 3

   Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées :

   • ✓\((x_B-x_A,\,y_B-y_A,\,z_B-z_A)\)
   • B\((x_A+x_B,\,y_A+y_B,\,z_A+z_B)\)
   • C\((x_A-x_B,\,y_A-y_B,\,z_A-z_B)\)
   • D\(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dots\right)\)

   Remarque

   \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées « arrivée moins départ » : \((x_B-x_A,\,y_B-y_A,\,z_B-z_A)\).

4. Question 4

   Dans un repère orthonormé, la norme de \(\overrightarrow{u}(x,y,z)\) est :

   • A\(x+y+z\)
   • ✓\(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)
   • C\(x^{2}+y^{2}+z^{2}\)
   • D\(|x|+|y|+|z|\)

   Remarque

   En repère orthonormé, \(\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\).

5. Question 5

   Une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(x_A,y_A,z_A)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}(a,b,c)\) est :

   • ✓\(\begin{cases}x=x_A+ta\\ y=y_A+tb\\ z=z_A+tc\end{cases},\ t\in\mathbb{R}\)
   • B\(ax+by+cz=0\)
   • C\(\begin{cases}x=ta\\ y=tb\end{cases}\)
   • D\(x=y=z\)

   Remarque

   \(M\in(D)\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\), d'où le système \(x=x_A+ta,\ y=y_A+tb,\ z=z_A+tc\).

6. Question 6

   Une équation cartésienne d'un plan de l'espace est de la forme :

   • ✓\(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\ne(0,0,0)\)
   • B\(ax+by=0\)
   • C\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)
   • D\(y=ax+b\)

   Remarque

   Tout plan admet une équation cartésienne \(ax+by+cz+d=0\) où \((a,b,c)\) sont les coordonnées d'un vecteur normal, non tous nuls.

7. Question 7

   Dans l'équation \(ax+by+cz+d=0\) d'un plan, le vecteur \(\overrightarrow{n}(a,b,c)\) est :

   • Aun vecteur directeur du plan
   • ✓un vecteur normal au plan
   • Csans signification
   • Dle centre du plan

   Remarque

   \(\overrightarrow{n}(a,b,c)\) est un vecteur normal (orthogonal) au plan : les coefficients de l'équation cartésienne donnent directement une normale.

8. Question 8

   Les vecteurs \(\overrightarrow{u}(x,y,z)\) et \(\overrightarrow{v}(x',y',z')\) sont colinéaires lorsque leurs coordonnées sont :

   • Aégales
   • ✓proportionnelles
   • Cde somme nulle
   • Dopposées

   Remarque

   La colinéarité analytique se traduit par la proportionnalité des coordonnées : \(x'=kx,\ y'=ky,\ z'=kz\) (déterminants \(2\times 2\) nuls).

9. Question 9

   Deux plans de vecteurs normaux \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{n'}\) sont parallèles lorsque :

   • ✓\(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{n'}\) sont colinéaires
   • B\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n'}=0\)
   • C\(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0}\)
   • Dleurs équations ont le même \(d\)

   Remarque

   Deux plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires. S'ils sont de plus orthogonaux (\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n'}=0\)), les plans sont perpendiculaires.

10. Question 10

    Le point \(A(x_A,y_A,z_A)\) appartient au plan \((P):ax+by+cz+d=0\) si et seulement si :

    • ✓\(a x_A+b y_A+c z_A+d=0\)
    • B\(a x_A+b y_A+c z_A=1\)
    • C\(x_A=y_A=z_A\)
    • D\(a x_A+b y_A+c z_A+d>0\)

    Remarque

    Un point est sur le plan lorsque ses coordonnées vérifient l'équation : \(a x_A+b y_A+c z_A+d=0\).