QCM — Étude des fonctions

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\in\mathbb{R}\), la courbe admet :

   • Aune asymptote verticale \(x=\ell\)
   • ✓une asymptote horizontale \(y=\ell\)
   • Cune asymptote oblique
   • Dune branche parabolique

   Remarque

   Une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\) donne l'asymptote horizontale \(y=\ell\).

2. Question 2

   La droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\) lorsque :

   • ✓\(\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0\)
   • B\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=b\)
   • C\(f'(x)=a\)
   • D\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)

   Remarque

   L'asymptote oblique \(y=ax+b\) est caractérisée par \(\lim\big(f(x)-(ax+b)\big)=0\) en \(+\infty\).

3. Question 3

   Si \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty\), la courbe présente :

   • Aune asymptote horizontale
   • ✓une branche parabolique de direction \((Oy)\)
   • Cune branche parabolique de direction \((Ox)\)
   • Dune asymptote oblique

   Remarque

   Quand \(\dfrac{f(x)}{x}\to+\infty\), la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées \((Oy)\).

4. Question 4

   Si \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0\) (avec \(f\to+\infty\)), la courbe présente :

   • ✓une branche parabolique de direction \((Ox)\)
   • Bune branche parabolique de direction \((Oy)\)
   • Cune asymptote horizontale
   • Dun point d'inflexion

   Remarque

   Lorsque \(\dfrac{f(x)}{x}\to 0\), la branche infinie est parabolique de direction l'axe des abscisses \((Ox)\).

5. Question 5

   La courbe de \(f\) admet l'axe \((Oy)\) comme axe de symétrie lorsque, pour tout \(x\) de \(D_f\) symétrique :

   • A\(f(-x)=-f(x)\)
   • ✓\(f(-x)=f(x)\)
   • C\(f(x)=0\)
   • D\(f(x+T)=f(x)\)

   Remarque

   La parité \(f(-x)=f(x)\) traduit la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées.

6. Question 6

   Le point \(\Omega(a,b)\) est centre de symétrie de \(\mathcal{C}_f\) lorsque, pour tout \(x\) :

   • ✓\(f(2a-x)+f(x)=2b\)
   • B\(f(2a-x)=f(x)\)
   • C\(f(x)=b\)
   • D\(f(a-x)=f(a+x)\)

   Remarque

   \(\Omega(a,b)\) est centre de symétrie ssi \(f(2a-x)+f(x)=2b\) (les milieux des points symétriques restent en \(\Omega\)).

7. Question 7

   Si \(f''(x)>0\) sur un intervalle \(I\), la courbe y est :

   • Aconcave (tournée vers le bas)
   • ✓convexe (tournée vers le haut)
   • Cune droite
   • Ddécroissante

   Remarque

   \(f''>0\) sur \(I\Rightarrow\) courbe convexe (au-dessus de ses tangentes). \(f''<0\) donnerait une courbe concave.

8. Question 8

   Un point d'inflexion est un point où :

   • A\(f'\) s'annule
   • ✓la concavité change de sens (\(f''\) change de signe)
   • C\(f\) atteint un maximum
   • Dla tangente est verticale

   Remarque

   En un point d'inflexion, la courbe change de convexité : \(f''\) s'annule en changeant de signe.

9. Question 9

   La position relative de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \(\mathcal{C}_g\) s'étudie grâce au signe de :

   • A\(f(x)\times g(x)\)
   • ✓\(f(x)-g(x)\)
   • C\(f'(x)-g'(x)\)
   • D\(f(x)+g(x)\)

   Remarque

   On étudie le signe de \(d(x)=f(x)-g(x)\) : \(d>0\Rightarrow\mathcal{C}_f\) au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ; \(d=0\Rightarrow\) points d'intersection.

10. Question 10

    Si \(f(x)-g(x)=0\) pour une valeur \(x_0\), alors en \(x_0\) les deux courbes :

    • Asont parallèles
    • ✓se coupent
    • Csont confondues partout
    • Dn'ont pas de rapport

    Remarque

    \(f(x_0)=g(x_0)\) signifie que les deux courbes ont le même point d'abscisse \(x_0\) : elles se coupent (point d'intersection).