QCM — Vecteurs de l'espace

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Deux vecteurs non nuls \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de l'espace sont colinéaires lorsque :

   • A\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0\)
   • ✓il existe \(k\in\mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{v}=k\,\overrightarrow{u}\)
   • Cils ont même norme
   • Dils sont orthogonaux

   Remarque

   La colinéarité s'écrit \(\overrightarrow{v}=k\,\overrightarrow{u}\) pour un réel \(k\). Les deux vecteurs dirigent alors la même direction.

2. Question 2

   Trois vecteurs \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) sont coplanaires lorsque :

   • ✓l'un est combinaison linéaire des deux autres
   • Bils sont deux à deux orthogonaux
   • Cils ont la même norme
   • Dils forment une base

   Remarque

   Ils sont coplanaires si l'un s'écrit \(\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}\) : ils appartiennent alors à un même plan (vectoriel).

3. Question 3

   Une base de l'espace est constituée de :

   • Adeux vecteurs non colinéaires
   • ✓trois vecteurs non coplanaires
   • Ctrois vecteurs coplanaires
   • Dquatre vecteurs quelconques

   Remarque

   L'espace est de dimension 3 : une base est formée de trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur se décompose alors de façon unique sur cette base.

4. Question 4

   Dans une base \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\), la décomposition d'un vecteur \(\overrightarrow{u}\) est :

   • Atoujours possible mais pas unique
   • ✓unique
   • Cimpossible en général
   • Dpossible seulement si \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\)

   Remarque

   Dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique \(\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\) ; \((x,y,z)\) sont ses coordonnées.

5. Question 5

   Quatre points \(A,B,C,D\) sont coplanaires si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) sont :

   • Acolinéaires
   • ✓coplanaires
   • Corthogonaux
   • Dunitaires

   Remarque

   Les quatre points appartiennent à un même plan ssi les trois vecteurs \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires.

6. Question 6

   Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si :

   • ✓\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires
   • B\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)
   • C\(AB=AC\)
   • D\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

   Remarque

   L'alignement de \(A,B,C\) équivaut à la colinéarité de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

7. Question 7

   La droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) est l'ensemble des points \(M\) tels que :

   • A\(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0\)
   • ✓\(\overrightarrow{AM}\) colinéaire à \(\overrightarrow{u}\)
   • C\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}\)
   • D\(AM=\|\overrightarrow{u}\|\)

   Remarque

   \(M\) est sur la droite \((A,\overrightarrow{u})\) ssi \(\overrightarrow{AM}=t\,\overrightarrow{u}\) pour un réel \(t\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{AM}\) colinéaire à \(\overrightarrow{u}\).

8. Question 8

   Le plan passant par \(A\) et dirigé par deux vecteurs non colinéaires \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) est l'ensemble des \(M\) tels que :

   • A\(\overrightarrow{AM}=t\,\overrightarrow{u}\)
   • ✓\(\overrightarrow{AM}=t\,\overrightarrow{u}+s\,\overrightarrow{v},\ (t,s)\in\mathbb{R}^{2}\)
   • C\(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0\)
   • D\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\)

   Remarque

   Un point du plan s'écrit \(\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}+s\overrightarrow{v}\) : \(\overrightarrow{AM}\) est coplanaire avec \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).

9. Question 9

   Deux droites de vecteurs directeurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont parallèles lorsque :

   • ✓\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires
   • B\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0\)
   • C\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont coplanaires
   • Delles ont un point commun

   Remarque

   Le parallélisme de deux droites correspond à la colinéarité de leurs vecteurs directeurs.

10. Question 10

    Une droite de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) est parallèle à un plan dirigé par \((\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) lorsque :

    • ✓\(\overrightarrow{u}\) est coplanaire avec \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\)
    • B\(\overrightarrow{u}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{v}\)
    • C\(\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}\)
    • D\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\)

    Remarque

    La droite est parallèle au plan lorsque son vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) est coplanaire avec les deux vecteurs directeurs du plan (combinaison linéaire de \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\)).