← Fiche précédente 5. Le produit scalaire dans le plan Fiche suivante → 7. Limite d'une fonction Le calcul trigonométrique fournit en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales les identités qui reviennent en analyse, en géométrie et en physique. Cette fiche réunit le cercle trigonométrique, l'identité fondamentale cos²x + sin²x = 1, les valeurs remarquables, les angles associés, les formules d'addition et de duplication, la linéarisation, le passage produit ↔ somme, la forme a cos x + b sin x = R cos(x − φ) et la résolution des équations de référence. L'idée n'est pas d'apprendre les formules en vrac mais de savoir laquelle sert à quoi : produit → somme pour linéariser, somme → produit pour factoriser. Le réflexe pour les signes de l'addition : « le cosinus contrarie, le sinus suit ».
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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales
Calcul trigonométrique — Cercle, addition, équations
Math Excellence
1 · Identités & valeurs
x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 tan x 0 3 3 1 3 n.d. \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \tfrac\pi6 & \tfrac\pi4 & \tfrac\pi3 & \tfrac\pi2\\ \hline \cos x & 1 & \tfrac{\sqrt3}2 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac12 & 0\\ \hline \sin x & 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac{\sqrt3}2 & 1\\ \hline \tan x & 0 & \tfrac{\sqrt3}3 & 1 & \sqrt3 & \text{n.d.}\\ \hline\end{array} x cos x sin x tan x 0 1 0 0 6 π 2 3 2 1 3 3 4 π 2 2 2 2 1 3 π 2 1 2 3 3 2 π 0 1 n.d.
2 · Angles associés & addition
Angles associés
cos ( − x ) = cos x , sin ( − x ) = − sin x \cos(-x)=\cos x,\ \sin(-x)=-\sin x cos ( − x ) = cos x , sin ( − x ) = − sin x cos ( π − x ) = − cos x , sin ( π − x ) = sin x \cos(\pi-x)=-\cos x,\ \sin(\pi-x)=\sin x cos ( π − x ) = − cos x , sin ( π − x ) = sin x cos ( π + x ) = − cos x , sin ( π + x ) = − sin x \cos(\pi+x)=-\cos x,\ \sin(\pi+x)=-\sin x cos ( π + x ) = − cos x , sin ( π + x ) = − sin x
Complémentaires
π 2 ± x \tfrac\pi2\pm x 2 π ± x cos ( π 2 − x ) = sin x , sin ( π 2 − x ) = cos x \cos(\tfrac\pi2-x)=\sin x,\ \sin(\tfrac\pi2-x)=\cos x cos ( 2 π − x ) = sin x , sin ( 2 π − x ) = cos x cos ( π 2 + x ) = − sin x \cos(\tfrac\pi2+x)=-\sin x cos ( 2 π + x ) = − sin x Astuce : placer le point sur le cercle, appliquer la symétrie.
Addition — cosinus
cos ( a ± b ) = cos a cos b ∓ sin a sin b \cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b cos ( a ± b ) = cos a cos b ∓ sin a sin b Le cos contrarie le signe intérieur
Addition — sinus
sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b \sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b Le sin suit le signe intérieur
Addition — tangente
tan ( a ± b ) = tan a ± tan b 1 ∓ tan a tan b \tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b} tan ( a ± b ) = 1 ∓ tan a tan b tan a ± tan b
3 · Formules & réflexes
cos 2 x + sin 2 x = 1 \cos^2x+\sin^2x=1 cos 2 x + sin 2 x = 1 cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x \cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x sin 2 x = 2 sin x cos x \sin2x=2\sin x\cos x sin 2 x = 2 sin x cos x 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x 1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x} 1 + tan 2 x = cos 2 x 1 cos x = cos α ⟺ x = ± α + 2 k π \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi cos x = cos α ⟺ x = ± α + 2 kπ sin x = sin α ⟺ x = α \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha sin x = sin α ⟺ x = α ou
π − α [ 2 π ] \pi-\alpha\ [2\pi] π − α [ 2 π ]
4 · Duplication,
R cos R\cos R cos & équations
Angle double
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x \cos2x=\cos^2x-\sin^2x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x sin 2 x = 2 sin x cos x , tan 2 x = 2 tan x 1 − tan 2 x \sin2x=2\sin x\cos x,\ \tan2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x} sin 2 x = 2 sin x cos x , tan 2 x = 1 − tan 2 x 2 tan x
Linéariser
cos 2 x = 1 + cos 2 x 2 , sin 2 x = 1 − cos 2 x 2 \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2,\ \sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2 cos 2 x = 2 1 + cos 2 x , sin 2 x = 2 1 − cos 2 x sin x cos x = 1 2 sin 2 x \sin x\cos x=\tfrac12\sin2x sin x cos x = 2 1 sin 2 x
Transformer
produit → somme : cos a cos b = 1 2 [ cos ( a − b ) + cos ( a + b ) ] \cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)] cos a cos b = 2 1 [ cos ( a − b ) + cos ( a + b )] somme → produit : cos p + cos q = 2 cos p + q 2 cos p − q 2 \cos p+\cos q=2\cos\tfrac{p+q}2\cos\tfrac{p-q}2 cos p + cos q = 2 cos 2 p + q cos 2 p − q factoriser pour résoudre une équation
Forme
R cos ( x − φ ) R\cos(x-\varphi) R cos ( x − φ ) a cos x + b sin x = R cos ( x − φ ) a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi) a cos x + b sin x = R cos ( x − φ ) R = a 2 + b 2 R=\sqrt{a^2+b^2} R = a 2 + b 2 cos φ = a R , sin φ = b R \cos\varphi=\tfrac aR,\ \sin\varphi=\tfrac bR cos φ = R a , sin φ = R b R R R − R -R − R Piège : fixer
φ \varphi φ avec les deux signes, pas le seul cosinus.
Équations de référence
cos x = cos α ⟺ x = ± α + 2 k π \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi cos x = cos α ⟺ x = ± α + 2 kπ sin x = sin α ⟺ x = α + 2 k π \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi sin x = sin α ⟺ x = α + 2 kπ π − α + 2 k π \pi-\alpha+2k\pi π − α + 2 kπ tan x = tan α ⟺ x = α + k π \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi tan x = tan α ⟺ x = α + kπ écrire toutes les familles, puis filtrer l'intervalle
★ Astuces géniales
Addition : « le cosinus contrarie, le sinus suit » — signe inversé pour cos \cos cos sin \sin sin cos 2 x \cos2x cos 2 x trois formes : chacune donne une linéarisation (cos 2 \cos^2 cos 2 sin 2 \sin^2 sin 2 Produit → somme pour linéariser ; somme → produit pour factoriser (donc résoudre).Équations : se ramener à cos x = cos α \cos x=\cos\alpha cos x = cos α toutes les solutions, puis filtrer selon l'intervalle.
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