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Le produit scalaire est en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales le pont entre la géométrie et le calcul : il mesure un angle, une longueur, une projection, et surtout il teste l'orthogonalité. Cette fiche réunit ses quatre expressions (analytique xx′ + yy′, normes et angle, projection orthogonale, formule ½(AB² + AC² − BC²)), les identités remarquables, le lien avec l'aire et le déterminant, puis les applications aux droites et au cercle. L'idée directrice : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Pour situer une droite par rapport à un cercle, on compare la distance du centre au rayon, sans résoudre de système.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Le produit scalaire dans le plan — Analytique, droites, cercle

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1 · Définitions & expressions
Trigonométrique
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗)\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)
signe = signe de l'angle
Analytique (repère O.N.)
u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'
u⃗(x,y), v⃗(x′,y′)\vec u(x,y),\ \vec v(x',y')
Orthogonalité
u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0
le test clé
Carré scalaire
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2
∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}
Déterminant
det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−x′y\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y
=0  ⟺  =0\iff colinéaires
Distance
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
=∥AB→∥=\|\overrightarrow{AB}\|
2 · Calculer un produit scalaire
Quatre façons de calculer
  • coordonnées : xx′+yy′xx'+yy'
  • normes & angle : ∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta
  • projection orthogonale ; ou 12(AB2+AC2−BC2)\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)
Réflexe : choisir l'expression selon les données de la figure.
Projection orthogonale
  • HH projeté de CC sur (AB)(AB) : AB→⋅AC→=AB→⋅AH→=±AB×AH\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=\pm AB\times AH
signe ++ si même sens, −- sinon
Identités remarquables
  • ∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u\pm\vec v\|^2=\|\vec u\|^2\pm2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2
  • (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2
AB→⋅AC→=12(AB2+AC2−BC2)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)
Angle & aire
  • cos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}
  • AABC=12∣det⁡(AB→,AC→)∣\mathcal A_{ABC}=\tfrac12\big|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\big|
Contrôle : le signe du produit dit si l'angle est aigu ou obtus.
3 · Formules & réflexes
u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'
∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}
u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2
∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2
det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−x′y\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y
droite : normal n⃗(a,b)\vec n(a,b), directeur d⃗(−b,a)\vec d(-b,a)
d(M,D)=∣ax0+by0+c∣a2+b2d(M,D)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
4 · Droites & cercle — méthodes
Équation d'une droite
  • par AA, normal n⃗(a,b)\vec n(a,b) : AM→⋅n⃗=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0
  • ⇒ax+by+c=0\Rightarrow ax+by+c=0, normal n⃗(a,b)\vec n(a,b)
Positions relatives
  • (D)∥(D′)  ⟺  ab′−a′b=0(D)\parallel(D')\iff ab'-a'b=0
  • (D)⊥(D′)  ⟺  aa′+bb′=0(D)\perp(D')\iff aa'+bb'=0
Reconnaître un cercle
  • forme (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
  • développée : compléter les carrés
Piège : si \rho<0 l'ensemble est vide, si ρ=0\rho=0 c'est un point.
Cercle de diamètre [AB][AB]
  • M∈C  ⟺  MA→⋅MB→=0M\in\mathcal C\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0
  • droite & cercle : comparer d(Ω,D)d(\Omega,D) au rayon rr
★ Astuces géniales
  • Orthogonalité = produit scalaire nul. C'est le pont entre géométrie et calcul.
  • En repère orthonormé, tout se calcule : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy', ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Position d'une droite / cercle : comparer la distance du centre au rayon, sans résoudre de système.
  • Équation développée d'un cercle : compléter les carrés donne centre et rayon d'un coup.
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