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1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 5

Le produit scalaire dans le plan

Le produit scalaire est l'outil qui fait entrer les longueurs et les angles dans le calcul. À partir de deux vecteurs, il fabrique un nombre — pas un vecteur — et ce nombre encode à la fois les normes et l'angle qui les sépare. Sa vertu principale : il vaut zéro exactement quand les deux vecteurs sont orthogonaux, ce qui transforme toute question de perpendicularité en une simple équation. Ce chapitre en donne les quatre façons de le calculer (angle, projection, coordonnées, longueurs d'un triangle) puis passe à l'étude analytique dans un repère orthonormé, où u·v = xx′ + yy′ : vous en déduirez les distances, les angles, les équations de droites via un vecteur normal, la distance d'un point à une droite, et toute l'étude analytique du cercle — centre, rayon, tangente, et positions relatives d'une droite et d'un cercle. C'est le chapitre qui relie la géométrie du plan à l'algèbre des coordonnées.

1 · Résumé du cours

Le produit scalaire transforme des questions de géométrie (longueurs, angles, orthogonalité) en simples calculs de coordonnées. C'est le pont entre la géométrie et l'algèbre : équations de droites, de cercles, distances et angles s'en déduisent mécaniquement.

1.1 Produit scalaire et orthogonalité

Définition Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v est le réel u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ cos⁡(u⃗,v⃗)\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\big(\vec u,\vec v\big) (et u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0 si l'un des vecteurs est nul). Le résultat est un nombre réel, pas un vecteur.
Signe et colinéarité Pour deux vecteurs non nuls colinéaires : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\| (même sens) ou −∥u⃗∥ ∥v⃗∥-\|\vec u\|\,\|\vec v\| (sens contraires). Plus généralement, le signe du produit indique la nature de l'angle : positif si aigu, nul si droit, négatif si obtus.
Calcul par projection orthogonale Si HH est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) (avec A≠BA\neq B), alors AB→⋅AC→=AB→⋅AH→=±AB×AH\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=\pm AB\times AH (signe ++ si AB→\overrightarrow{AB} et AH→\overrightarrow{AH} ont même sens, −- sinon). Plus généralement AB→⋅CD→=AB→⋅C′D′→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{C'D'} avec C′,D′C',D' les projetés de C,DC,D sur (AB)(AB).
Orthogonalité · règles de calcul u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0. Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(ku⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗),u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2.\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u,\quad \vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w,\quad (k\vec u)\cdot\vec v=k(\vec u\cdot\vec v),\quad \vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2.
Identités avec les normes ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2.\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\qquad \|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2. On en déduit u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗∥2+∥v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2)\vec u\cdot\vec v=\dfrac12\big(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\big), et dans un triangle ABCABC : AB→⋅AC→=12(AB2+AC2−BC2).\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\tfrac12\big(AB^2+AC^2-BC^2\big).
Méthode — choisir la bonne expression
  • coordonnées connues ⇒\Rightarrow xx′+yy′xx'+yy' ;
  • normes et angle connus ⇒\Rightarrow ∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta ;
  • figure avec hauteur / projeté ⇒\Rightarrow projection orthogonale ;
  • trois longueurs d'un triangle ⇒\Rightarrow 12(AB2+AC2−BC2)\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2).

1.2 Expression analytique dans un repère orthonormé

Formule fondamentale Dans un repère orthonormé (O,ı⃗,ȷ⃗)(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}), pour u⃗(x,y)\vec u(x,y) et v⃗(x′,y′)\vec v(x',y') : u⃗⋅v⃗=x x′+y y′.\vec u\cdot\vec v=x\,x'+y\,y'. (Non valable telle quelle dans un repère quelconque.) Si A(xA,yA)A(x_A,y_A) et B(xB,yB)B(x_B,y_B), alors AB→(xB−xA, yB−yA)\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,\,y_B-y_A).
Norme, distance, angle ∥u⃗∥=x2+y2,AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2,\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}, cos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥=xx′+yy′x2+y2 x′2+y′2.\cos\big(\vec u,\vec v\big)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}=\dfrac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\,\sqrt{x'^2+y'^2}}.
Méthode — déterminer un angle / un paramètre Pour l'angle θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] : calculer u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v, puis ∥u⃗∥\|\vec u\| et ∥v⃗∥\|\vec v\|, former cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, puis θ=arccos⁡(⋯ )\theta=\arccos(\cdots) ; le signe du produit sert de contrôle (aigu / obtus). Si une coordonnée dépend d'un réel mm, traduire u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0 et résoudre en mm.
Aire par le déterminant Avec det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−x′y\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y : l'aire du triangle ABCABC vaut A=12∣det⁡(AB→,AC→)∣\mathcal{A}=\tfrac12\big|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\big|, celle du parallélogramme ∣det⁡(u⃗,v⃗)∣\big|\det(\vec u,\vec v)\big|. Exemple : u⃗(3,1)\vec u(3,1), v⃗(−2,4)\vec v(-2,4) : u⃗⋅v⃗=−6+4=−2≠0\vec u\cdot\vec v=-6+4=-2\neq0 (non orthogonaux), ∥u⃗∥=10\|\vec u\|=\sqrt{10}.

1.3 Droite : point et vecteur normal

Définition — vecteur normal Un vecteur normal à une droite (D)(D) est un vecteur non nul orthogonal à sa direction.
Équation cartésienne La droite passant par A(xA,yA)A(x_A,y_A) de vecteur normal n⃗(a,b)\vec n(a,b) a pour équation a(x−xA)+b(y−yA)=0a(x-x_A)+b(y-y_A)=0, soit ax+by+c=0ax+by+c=0. Réciproquement, si (a,b)≠(0,0)(a,b)\neq(0,0), la droite ax+by+c=0ax+by+c=0 admet n⃗(a,b)\vec n(a,b) pour vecteur normal et u⃗(−b,a)\vec u(-b,a) pour vecteur directeur.
Lire le vecteur normal sur l'équation Dans ax+by+c=0ax+by+c=0, le vecteur normal se lit directement : n⃗(a,b)\vec n(a,b). C'est le moyen le plus rapide de tester deux droites perpendiculaires (n⃗⋅n⃗′=0\vec n\cdot\vec n'=0) ou parallèles (n⃗,n⃗′\vec n,\vec n' colinéaires).
Distance d'un point à une droite d(M,(D))=∣ax0+by0+c∣a2+b2pour M(x0,y0), (D):ax+by+c=0.d\big(M,(D)\big)=\dfrac{|a x_0+b y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad\text{pour }M(x_0,y_0),\ (D):ax+by+c=0.
Positions relatives de deux droites Pour (D):ax+by+c=0(D):ax+by+c=0 et (D′):a′x+b′y+c′=0(D'):a'x+b'y+c'=0 :
  • (D)∥(D′)  ⟺  ab′−a′b=0(D)\parallel(D')\iff ab'-a'b=0 ;
  • (D)⊥(D′)  ⟺  aa′+bb′=0(D)\perp(D')\iff aa'+bb'=0.
Si ab′−a′b≠0ab'-a'b\neq0, les droites sont sécantes en un point unique.
Méthode — perpendiculaire, médiatrice Perpendiculaire à (D)(D) par AA : prendre un vecteur directeur de (D)(D) — par exemple (−b,a)(-b,a) — comme vecteur normal, puis écrire l'équation point-normale. Médiatrice de [AB][AB] : elle passe par le milieu II de [AB][AB] et admet AB→\overrightarrow{AB} pour vecteur normal (méthode rapide), ou c'est l'ensemble des MM tels que MA2=MB2MA^2=MB^2.

1.4 Étude analytique du cercle

Équation d'un cercle Le cercle de centre Ω(a,b)\Omega(a,b) et de rayon r>0r>0 a pour équation (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Représentation paramétrique : x=a+rcos⁡t, y=b+rsin⁡tx=a+r\cos t,\ y=b+r\sin t, t∈[0,2π[t\in[0,2\pi[.
Forme développée Pour x2+y2+αx+βy+γ=0x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0, on complète les carrés : (x+α2)2+(y+β2)2=ρ,ρ=α2+β24−γ.\left(x+\tfrac{\alpha}2\right)^2+\left(y+\tfrac{\beta}2\right)^2=\rho,\qquad \rho=\tfrac{\alpha^2+\beta^2}4-\gamma. Si ρ>0\rho>0 : cercle de centre Ω(−α2,−β2)\Omega\left(-\tfrac\alpha2,-\tfrac\beta2\right) et de rayon ρ\sqrt\rho ; si ρ=0\rho=0 : le point Ω\Omega ; si ρ<0\rho<0 : l'ensemble vide.
Cercle de diamètre [AB][AB] MM appartient au cercle de diamètre [AB][AB] si et seulement si MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 (l'angle AMB^\widehat{AMB} est droit — angle inscrit dans un demi-cercle).
Point / cercle · tangente MM est intérieur si ΩM<r\Omega M<r, sur le cercle si ΩM=r\Omega M=r, extérieur si ΩM>r\Omega M>r. Avec F(x,y)=x2+y2+αx+βy+γF(x,y)=x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma, on a F(x0,y0)=ΩM02−r2F(x_0,y_0)=\Omega M_0^2-r^2 : le signe de F(x0,y0)F(x_0,y_0) donne la position. La tangente en M0(x0,y0)M_0(x_0,y_0) du cercle : (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.
Méthode — cercle par trois points non alignés Vérifier det⁡(AB→,AC→)≠0\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\neq0, puis : (1) centre Ω\Omega = intersection de deux médiatrices, rayon ΩA\Omega A ; ou (2) partir de x2+y2+αx+βy+γ=0x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0, y substituer A,B,CA,B,C et résoudre le système en α,β,γ\alpha,\beta,\gamma.
Positions relatives d'une droite et d'un cercle Avec d=d(Ω,(D))d=d\big(\Omega,(D)\big) :
  • d>rd>r : C∩(D)=∅\mathcal{C}\cap(D)=\varnothing — droite extérieure ;
  • d=rd=r : C∩(D)={H}\mathcal{C}\cap(D)=\{H\} — droite tangente (HH = projeté de Ω\Omega sur (D)(D)) ;
  • d<rd<r : C∩(D)={A,B}\mathcal{C}\cap(D)=\{A,B\} — droite sécante (le projeté est le milieu de [AB][AB]).
Pour les points exacts, résoudre le système {équation droite, équation cercle} : on obtient une équation du second degré.
Reconnaître un cercle dans une équation développée Toujours compléter les carrés pour ramener x2+y2+αx+βy+γ=0x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0 à (x−a)2+(y−b)2=R(x-a)^2+(y-b)^2=R. Si R>0R>0, cercle de rayon R\sqrt R ; si R=0R=0, un seul point ; si R<0R<0, ensemble vide.
L'essentiel du chapitre
  • Quatre méthodes de calcul : angle, projection orthogonale, coordonnées, ou normes.
  • Analytique (repère orthonormé) : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy', ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Orthogonalité   ⟺  \iff produit scalaire nul ; angle par cos⁡=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}.
  • Droite ax+by+c=0ax+by+c=0 : vecteur normal n⃗(a,b)\vec n(a,b) lu directement ; distance ∣ax0+by0+c∣a2+b2\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
  • Cercle : (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 ; diamètre [AB][AB] : MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 ; forme développée ⇒\Rightarrow compléter les carrés.
  • Droite et cercle : comparer d(Ω,(D))d\big(\Omega,(D)\big) au rayon rr (zéro, un ou deux points).

2 · Exercices résolus

Droite · distance

Exercice 1

On donne A(1,2)A(1,2) et n⃗(3,−1)\vec n(3,-1). Déterminer une équation de la droite (D)(D) passant par AA de vecteur normal n⃗\vec n, puis la distance de OO à (D)(D).

Voir la correction

Vecteur normal n⃗(3,−1)\vec n(3,-1) : (D)(D) est de la forme 3x−y+c=03x-y+c=0. Comme A(1,2)∈(D)A(1,2)\in(D) : 3−2+c=0  ⟺  c=−13-2+c=0\iff c=-1. Donc (D):3x−y−1=0(D):3x-y-1=0.

Distance de O(0,0)O(0,0) : d(O,(D))=∣3×0−0−1∣32+(−1)2=110=1010d\big(O,(D)\big)=\dfrac{|3\times0-0-1|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}. ■\blacksquare

Cercle · compléter les carrés

Exercice 2

Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x2+y2−4x+6y−3=0x^2+y^2-4x+6y-3=0.

Voir la correction

On regroupe : (x2−4x)+(y2+6y)−3=0(x^2-4x)+(y^2+6y)-3=0. Or x2−4x=(x−2)2−4x^2-4x=(x-2)^2-4 et y2+6y=(y+3)2−9y^2+6y=(y+3)^2-9, donc (x−2)2+(y+3)2=4+9+3=16.(x-2)^2+(y+3)^2=4+9+3=16. C'est le cercle de centre Ω(2,−3)\Omega(2,-3) et de rayon r=4r=4. ■\blacksquare

Cercle de diamètre

Exercice 3

A(0,1)A(0,1), B(4,3)B(4,3). Déterminer une équation du cercle de diamètre [AB][AB].

Voir la correction

Pour tout M(x,y)M(x,y) : M∈C  ⟺  MA→⋅MB→=0M\in\mathcal{C}\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0. Avec MA→(−x, 1−y)\overrightarrow{MA}(-x,\,1-y) et MB→(4−x, 3−y)\overrightarrow{MB}(4-x,\,3-y) : (−x)(4−x)+(1−y)(3−y)=0  ⟺  x2−4x+y2−4y+3=0.(-x)(4-x)+(1-y)(3-y)=0\iff x^2-4x+y^2-4y+3=0. Une équation est x2+y2−4x−4y+3=0x^2+y^2-4x-4y+3=0. Contrôle : centre I(2,2)I(2,2) (milieu de [AB][AB]), AB=16+4=25AB=\sqrt{16+4}=2\sqrt5, r=5r=\sqrt5, soit (x−2)2+(y−2)2=5(x-2)^2+(y-2)^2=5. ■\blacksquare

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