Aller au contenu principal
MathExcellence
← Tous les cours
4

1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 4

Le barycentre dans le plan

Le barycentre généralise le milieu et le centre de gravité : c'est le point d'équilibre d'un système de points affectés de « masses » (des poids réels). Dès que la somme des poids n'est pas nulle, ce point existe et il est unique. Sa force tient en une seule formule, la propriété caractéristique, qui remplace toute une somme de vecteurs pondérés par un unique vecteur : c'est ce qui en fait l'outil idéal pour prouver qu'un point appartient à une droite, que trois droites (comme les médianes) sont concourantes, ou pour reconnaître un lieu géométrique (cercle, médiatrice). Vous apprendrez à calculer les coordonnées d'un barycentre, à le construire, à utiliser l'associativité pour regrouper les points, et à retrouver que le centre de gravité d'un triangle est aux deux tiers de chaque médiane.

1 · Résumé du cours

Le barycentre généralise l'idée de milieu et de centre de gravité : c'est le point d'équilibre d'un système de points affectés de « masses ». C'est un outil redoutable pour prouver des alignements, trouver des points de concours et simplifier des sommes de vecteurs.

1.1 Barycentre de deux points pondérés

Définition — vocabulaire Un couple (A,α)(A,\alpha) formé d'un point AA et d'un réel α\alpha est un point pondéré ; α\alpha est le poids (ou coefficient) de AA. Une famille de points pondérés est un système pondéré.
Définition — barycentre Soient A,BA,B deux points et α,β\alpha,\beta deux réels tels que α+β≠0\alpha+\beta\neq0. Il existe un unique point GG, le barycentre de {(A,α),(B,β)}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}, vérifiant α GA→+β GB→=0⃗.\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}=\vec{0}.
Formule de position AG→=βα+β AB→etBG→=αα+β BA→.\overrightarrow{AG}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}\qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{BG}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{BA}. Ces relations prouvent l'existence, l'unicité et l'alignement de AA, BB et GG.

Exemple. Si G=bar⁡{(A,2),(B,3)}G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,3)\}, alors AG→=35AB→\overrightarrow{AG}=\dfrac35\overrightarrow{AB} : GG est sur [AB][AB], aux trois cinquièmes du trajet de AA vers BB.

Propriété caractéristique GG est le barycentre de {(A,α),(B,β)}\{(A,\alpha),(B,\beta)\} si et seulement si, pour tout point MM du plan : α MA→+β MB→=(α+β) MG→.\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}.
La formule qui « réduit » une somme de vecteurs C'est l'intérêt du barycentre : remplacer une somme α MA→+β MB→\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB} par un seul vecteur (α+β) MG→(\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}. Face à une telle expression, le réflexe est d'introduire son barycentre.
Coordonnées et position Dans un repère (en prenant M=OM=O) : xG=αxA+βxBα+β,yG=αyA+βyBα+β.x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta},\qquad y_G=\dfrac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha+\beta}. Pour α,β\alpha,\beta non nuls : si αβ>0\alpha\beta>0, G∈ ]A,B[G\in\,]A,B[ (division intérieure) ; si αβ<0\alpha\beta<0, G∈(AB)∖[A,B]G\in(AB)\setminus[A,B] (division extérieure) ; dans les deux cas GAGB=∣βα∣\dfrac{GA}{GB}=\left|\dfrac{\beta}{\alpha}\right|.
Homogénéité · isobarycentre Le barycentre est inchangé si l'on multiplie tous les poids par un même réel k≠0k\neq0 : bar⁡{(A,α),(B,β)}=bar⁡{(A,kα),(B,kβ)}\operatorname{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}=\operatorname{bar}\{(A,k\alpha),(B,k\beta)\}. Lorsque les poids sont égaux, GG est l'isobarycentre ; l'isobarycentre de deux points est leur milieu.
Méthode — construire GG
  1. simplifier éventuellement les poids par homogénéité ;
  2. calculer λ=βα+β\lambda=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta} ;
  3. placer GG tel que AG→=λAB→\overrightarrow{AG}=\lambda\overrightarrow{AB}.
Si 0<λ<10<\lambda<1, GG est entre AA et BB ; sinon il est à l'extérieur du segment.
Reconnaître un barycentre dans une relation Une relation comme 2PA→−3PB→=0⃗2\overrightarrow{PA}-3\overrightarrow{PB}=\vec{0} signifie directement P=bar⁡{(A,2),(B,−3)}P=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,-3)\}, car la somme des poids vaut −1≠0-1\neq0.

1.2 Barycentre de trois points pondérés

Définition Soient A,B,CA,B,C et α,β,γ\alpha,\beta,\gamma avec α+β+γ≠0\alpha+\beta+\gamma\neq0. Il existe un unique point GG, barycentre de {(A,α),(B,β),(C,γ)}\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}, tel que α GA→+β GB→+γ GC→=0⃗.\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}+\gamma\,\overrightarrow{GC}=\vec{0}.
Propriété caractéristique Pour tout point MM : α MA→+β MB→+γ MC→=(α+β+γ) MG→\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}+\gamma\,\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\,\overrightarrow{MG}, et les coordonnées sont xG=αxA+βxB+γxCα+β+γx_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma} (idem pour yGy_G).
Associativité (barycentre partiel) On ne change pas le barycentre en remplaçant deux points par leur barycentre partiel, affecté de la somme de leurs poids. Si α+β≠0\alpha+\beta\neq0 et H=bar⁡{(A,α),(B,β)}H=\operatorname{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}, alors bar⁡{(A,α),(B,β),(C,γ)}=bar⁡{(H,α+β),(C,γ)}.\operatorname{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}=\operatorname{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}.
Méthode — construire GG, démontrer un concours
  1. choisir deux poids de somme non nulle, par exemple α+β≠0\alpha+\beta\neq0 ;
  2. construire H=bar⁡{(A,α),(B,β)}H=\operatorname{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\} sur (AB)(AB) ;
  3. construire G=bar⁡{(H,α+β),(C,γ)}G=\operatorname{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\} sur (HC)(HC) : donc G∈(HC)G\in(HC).
En changeant de regroupement, on fait apparaître plusieurs droites passant par le même GG : elles sont concourantes. (Si α+β=0\alpha+\beta=0, on regroupe une autre paire ; au moins une des sommes est non nulle.)
L'associativité prouve les concours Elle ramène un barycentre de trois points à un barycentre de deux — donc à un point sur une droite. C'est ainsi qu'on montre que trois droites (médianes, céviennes…) sont concourantes : elles passent toutes par le même barycentre.
Centre de gravité d'un triangle L'isobarycentre des sommets d'un triangle (α=β=γ\alpha=\beta=\gamma) est son centre de gravité GG, point de concours des médianes, situé aux 23\frac23 de chaque médiane depuis le sommet. Si II est le milieu de [BC][BC] : AG→=13(AB→+AC→)=23AI→.\overrightarrow{AG}=\frac13\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\big)=\frac23\overrightarrow{AI}.

1.3 Barycentre de quatre points

Définition Pour {(A1,α1),…,(A4,α4)}\{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_4,\alpha_4)\} avec ∑αi≠0\sum\alpha_i\neq0, le barycentre GG est l'unique point tel que ∑i=14αi GAi→=0⃗\displaystyle\sum_{i=1}^{4}\alpha_i\,\overrightarrow{GA_i}=\vec{0}. Propriété caractéristique, coordonnées et associativité se généralisent à l'identique.
Isobarycentre de quatre points Soient A,B,C,DA,B,C,D, II le milieu de [AB][AB] et JJ celui de [CD][CD]. Leur isobarycentre vérifie G=bar⁡{(I,2),(J,2)}G=\operatorname{bar}\{(I,2),(J,2)\} : c'est le milieu de [IJ][IJ]. En particulier, si ABCDABCD est un parallélogramme, son isobarycentre est l'intersection des diagonales.
Tout se généralise Rien de nouveau à 44 points (ou plus) : mêmes formules, avec la somme des poids au dénominateur. L'associativité reste l'outil clé : on regroupe les points par paquets pour se ramener à des cas connus.

1.4 Applications aux lieux géométriques

Méthode — réduire une somme de vecteurs pondérés Pour u⃗(M)=α1MA1→+⋯+αnMAn→\vec{u}(M)=\alpha_1\overrightarrow{MA_1}+\dots+\alpha_n\overrightarrow{MA_n} et s=α1+⋯+αns=\alpha_1+\dots+\alpha_n :
  1. vérifier que s≠0s\neq0 ;
  2. introduire G=bar⁡{(A1,α1),…,(An,αn)}G=\operatorname{bar}\{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_n,\alpha_n)\} ;
  3. appliquer la propriété caractéristique : u⃗(M)=s MG→\vec{u}(M)=s\,\overrightarrow{MG}.
Le point variable MM ne figure alors plus que dans un seul vecteur.
Lieux obtenus Avec r≥0r\ge0 : ∥α1MA1→+⋯+αnMAn→∥=r  ⟺  MG=r∣s∣\left\|\alpha_1\overrightarrow{MA_1}+\dots+\alpha_n\overrightarrow{MA_n}\right\|=r\iff MG=\dfrac{r}{|s|}. Le lieu de MM est donc le cercle de centre GG et de rayon r∣s∣\dfrac{r}{|s|} si r>0r>0, le singleton {G}\{G\} si r=0r=0. Si deux sommes se réduisent en sMG→s\overrightarrow{MG} et tMH→t\overrightarrow{MH} avec ∣s∣=∣t∣≠0|s|=|t|\neq0, alors ∥u⃗(M)∥=∥v⃗(M)∥  ⟺  MG=MH\|\vec u(M)\|=\|\vec v(M)\|\iff MG=MH : le lieu est la médiatrice de [GH][GH] (si G≠HG\neq H).
La démarche complète pour un lieu Toujours le même ordre : somme des poids → définir le(s) barycentre(s) → réduire les sommes vectorielles → prendre les normes → reconnaître le lieu (cercle, médiatrice, point ou ensemble vide).
L'essentiel du chapitre
  • Existence : le barycentre existe dès que la somme des poids n'est pas nulle.
  • Propriété caractéristique : ∑αi MAi→=(∑αi)MG→\sum\alpha_i\,\overrightarrow{MA_i}=\big(\sum\alpha_i\big)\overrightarrow{MG} — elle réduit toute somme de vecteurs pondérés.
  • Deux points : AG→=βα+βAB→\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB} ; le signe indique division intérieure ou extérieure.
  • Coordonnées : moyenne pondérée des coordonnées.
  • Homogénéité : multiplier tous les poids par k≠0k\neq0 ne change rien.
  • Associativité : regrouper par un barycentre partiel — l'outil des alignements et concours.
  • Lieux : après réduction, MG=rMG=r décrit un cercle (ou GG si r=0r=0) ; MG=MHMG=MH décrit la médiatrice de [GH][GH].
  • Isobarycentre d'un triangle == centre de gravité, aux 23\frac23 des médianes.

2 · Exercices résolus

Coordonnées

Exercice 1

Dans un repère, A(1,2)A(1,2), B(4,−1)B(4,-1). Déterminer les coordonnées du barycentre GG de {(A,2),(B,1)}\{(A,2),(B,1)\}.

Voir la correction

La somme des poids est 2+1=3≠02+1=3\neq0. Donc xG=2×1+1×43=2,yG=2×2+1×(−1)3=1.x_G=\dfrac{2\times1+1\times4}{3}=2,\qquad y_G=\dfrac{2\times2+1\times(-1)}{3}=1. Ainsi G(2,1)G(2,1). Les poids étant de même signe, G∈[AB]G\in[AB]. ■\blacksquare

Réduction · lieu

Exercice 2

Soient A,B,CA,B,C. Réduire u⃗(M)=2 MA→+MB→+MC→\vec{u}(M)=2\,\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}, puis déterminer l'ensemble des points MM tels que ∥2 MA→+MB→+MC→∥=8\big\|2\,\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\big\|=8.

Voir la correction

La somme des poids vaut 2+1+1=4≠02+1+1=4\neq0 : soit G=bar⁡{(A,2),(B,1),(C,1)}G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,1),(C,1)\}. La propriété caractéristique donne 2 MA→+MB→+MC→=4 MG→2\,\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\,\overrightarrow{MG}.

L'équation devient ∥4 MG→∥=8\|4\,\overrightarrow{MG}\|=8, soit 4 MG=84\,MG=8, d'où MG=2MG=2. L'ensemble cherché est le cercle de centre GG et de rayon 22. ■\blacksquare

Centre de gravité

Exercice 3

ABCABC est un triangle, II le milieu de [BC][BC]. Montrer que le centre de gravité GG vérifie AG→=23AI→\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}.

Voir la correction

G=bar⁡{(A,1),(B,1),(C,1)}G=\operatorname{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}. Par associativité, comme I=bar⁡{(B,1),(C,1)}I=\operatorname{bar}\{(B,1),(C,1)\} est le milieu de [BC][BC] : G=bar⁡{(A,1),(I,2)}G=\operatorname{bar}\{(A,1),(I,2)\}.

La propriété caractéristique avec M=AM=A donne 1⋅AA→+2⋅AI→=(1+2)AG→1\cdot\overrightarrow{AA}+2\cdot\overrightarrow{AI}=(1+2)\overrightarrow{AG}, soit 2 AI→=3 AG→2\,\overrightarrow{AI}=3\,\overrightarrow{AG}, d'où AG→=23AI→\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}. GG est bien aux 23\frac23 de la médiane [AI][AI] depuis AA. ■\blacksquare

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la ficheQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 10 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

© Math Excellence · mathexce.com