1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 3

Suites numériques

Une suite, c'est une liste ordonnée de nombres indexée par les entiers : le capital d'un compte année après année, une population qui évolue, un échéancier de remboursement. Ce chapitre pose le vocabulaire (terme général, définition explicite ou récurrente, sens de variation, suite majorée / minorée / bornée) puis se concentre sur les deux modèles que vous retrouverez partout : les suites arithmétiques (on ajoute toujours la même raison) et les suites géométriques (on multiplie toujours par la même raison). Vous apprendrez à reconnaître chaque type, à calculer le terme de rang n, à sommer un grand nombre de termes d'un coup, et à traiter une suite arithmético-géométrique u(n+1) = a·u(n) + b grâce au point fixe. La notion de limite d'une suite, elle, est réservée à la 2ᵉ Bac.

1 · Résumé du cours

Une suite est une liste ordonnée de nombres, indexée par les entiers. On la rencontre partout : intérêts d'un capital, populations, échéanciers. Ce chapitre installe le vocabulaire (terme général, monotonie, bornes) puis étudie les deux modèles fondamentaux : les suites arithmétiques et géométriques.

1.1 Généralités

Définition — suite numérique Une suite numérique est une fonction définie sur

\mathbb{N}

, ou sur une partie de

\mathbb{N}

, et à valeurs dans

\mathbb{R}

. L'image de l'entier

n

se note

u_n

: c'est le terme de rang $n$ . Si la suite commence au rang

p

, on la note

(u_n)_{n\ge p}

et son premier terme est

u_p

Définition — deux modes de définition

Explicite : $u_n$ est donné directement en fonction de $n$ , par exemple $u_n=n^2-1$ ;
Récurrente : on donne un ou plusieurs termes initiaux et une relation permettant de calculer les suivants, par exemple $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n+1$ .

Exemple. Si $u_n=2n^2-3$ , alors $u_0=-3$ , $u_1=-1$ , $u_2=5$ . Si $v_0=1$ et $v_{n+1}=2v_n+3$ , alors $v_1=5$ et $v_2=13$ .

Le rang initial fait partie de la définition La formule seule ne suffit pas toujours. Les suites

(u_n)_{n\ge0}

(u_n)_{n\ge1}

données par

u_n=\dfrac1n

n'ont pas le même domaine : la première n'est pas définie au rang

0

, la seconde l'est bien.

1.2 Représentation graphique

Dans un repère, une suite $(u_n)$ est représentée par les points $M_n(n,u_n)$ . Les abscisses étant des entiers, c'est un ensemble de points isolés, pas une courbe continue. Pour une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ , on peut construire les termes « en escalier » à l'aide de la courbe $y=f(x)$ et de la droite $y=x$ : on lit $u_{n+1}$ sur la courbe de $f$ , puis on le reporte sur l'axe grâce à $y=x$ .

Explicite ou récurrente : ne pas confondre Avec une formule explicite, on calcule

u_{100}

directement. Avec une formule récurrente, il faut connaître

u_n

pour obtenir

u_{n+1}

: calculer

u_{100}

demande en principe tous les termes précédents — d'où l'intérêt de trouver le terme général.

1.3 Sens de variation

Définition La suite

(u_n)_{n\ge p}

est :

croissante si, pour tous $m,n\ge p$ , $m\le n\Rightarrow u_m\le u_n$ ;
décroissante si, pour tous $m,n\ge p$ , $m\le n\Rightarrow u_m\ge u_n$ ;
constante si tous ses termes sont égaux ;
monotone si elle est croissante ou décroissante.

Les inégalités strictes définissent une suite strictement croissante ou décroissante.

Comparaison de deux termes consécutifs

(u_n)\text{ croissante}\iff\forall n\ge p,\ u_{n+1}\ge u_n,\qquad (u_n)\text{ décroissante}\iff\forall n\ge p,\ u_{n+1}\le u_n.

Méthode — étudier la monotonie

Signe de $u_{n+1}-u_n$ : positif $\Rightarrow$ croissante ;
si tous les termes sont $>0$ , comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ ;
si $u_n=f(n)$ est explicite, la monotonie de $f$ donne celle de la suite.

Exemple. Pour $u_n=n^2-n$ : $u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)=2n\ge0$ . La suite est croissante.

1.4 Suite majorée, minorée, bornée

Définition

(u_n)

est majorée s'il existe

M

tel que

\forall n,\ u_n\le M

; minorée s'il existe

m

tel que

\forall n,\ u_n\ge m

; bornée si elle est majorée et minorée.

Caractérisation par la valeur absolue

(u_n)

est bornée si et seulement s'il existe un réel

A>0

tel que

\forall n,\ |u_n|\le A

Méthode — encadrer une suite récurrente Pour démontrer qu'une suite récurrente reste dans

[a,b]

, on utilise une récurrence :

vérifier que $u_p\in[a,b]$ ;
supposer $u_n\in[a,b]$ ;
utiliser $u_{n+1}=f(u_n)$ pour prouver $u_{n+1}\in[a,b]$ .

Exemple. Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=1+\dfrac{u_n}{2}$ . Au rang $0$ , $0\le u_0\le2$ . Si $0\le u_n\le2$ , alors $0\le\dfrac{u_n}{2}\le1$ , donc $1\le u_{n+1}\le2$ , et en particulier $0\le u_{n+1}\le2$ . Par récurrence, $0\le u_n\le2$ pour tout $n$ : la suite est bornée.

1.5 Suites arithmétiques

Définition

(u_n)

est arithmétique s'il existe un réel

r

, la raison, tel que

\forall n,\ u_{n+1}=u_n+r

. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours

r

Terme général Si

(u_n)

est arithmétique de raison

r

u_n=u_0+n\,r\qquad\text{et plus généralement}\qquad u_n=u_p+(n-p)\,r\quad(n\ge p).

Si le premier terme est

u_1

, alors

u_n=u_1+(n-1)r

Reconnaître · varier · trois termes

$(u_n)$ arithmétique $\iff u_{n+1}-u_n$ est constant ;
variation selon le signe de $r$ : croissante si $r>0$ , décroissante si $r<0$ , constante si $r=0$ ;
trois réels $a,b,c$ (dans cet ordre) sont consécutifs d'une suite arithmétique $\iff 2b=a+c$ ; ainsi $2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}$ .

Somme de termes consécutifs La somme vaut le nombre de termes multiplié par la demi-somme des extrêmes :

u_0+u_1+\dots+u_n=(n+1)\,\dfrac{u_0+u_n}{2},\qquad u_p+\dots+u_n=(n-p+1)\dfrac{u_p+u_n}{2}.

En particulier

1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2

Compter les termes · notation sigma Dans une somme du rang

p

au rang

n

, le nombre de termes est

n-p+1

(à calculer avant d'appliquer la formule). On note

\displaystyle\sum_{k=p}^{n}u_k=u_p+u_{p+1}+\dots+u_n

, où

k

est un indice muet.

« Nombre de termes × moyenne des bords » Somme

=

(nombre de termes)

\times\dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}2

. Attention : de

u_0

u_n

, il y a

n+1

termes (et non

n

1.6 Suites géométriques

Définition

(u_n)

est géométrique s'il existe un réel

q

, la raison, tel que

\forall n,\ u_{n+1}=q\,u_n

. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par

q

Terme général Si

(u_n)

est géométrique de raison

q\neq0

u_n=u_0\,q^{\,n}\qquad\text{et plus généralement}\qquad u_n=u_p\,q^{\,n-p}\quad(n\ge p).

Si le premier terme est

u_1

, alors

u_n=u_1q^{n-1}

. Si

q=0

, tous les termes à partir de

u_{p+1}

sont nuls.

Reconnaître · trois termes · sens de variation

si tous les termes sont non nuls, $(u_n)$ géométrique $\iff\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant ;
$a,b,c$ consécutifs d'une suite géométrique $\Rightarrow b^2=ac$ ; réciproquement, si $a\neq0$ et $b^2=ac$ , ils sont consécutifs de raison $q=\dfrac ba$ ;
avec $u_p>0$ : si $q>1$ croissante, si $0<q<1$ décroissante ; si $q<0$ les signes alternent (non monotone) ; si $q=1$ constante.

Somme de termes consécutifs (

q\neq1

)

1+q+q^2+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q},\qquad u_0+u_1+\dots+u_n=u_0\,\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q},

et plus généralement

u_p+\dots+u_n=u_p\dfrac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}

« Premier terme ×

\dfrac{1-q^{\text{nb termes}}}{1-q}

» De

u_0

u_n

n+1

termes, d'où l'exposant

n+1

. Si

q=1

, la suite est constante et la somme vaut simplement

(n+1)\,u_0

1.7 Suites arithmético-géométriques

Une suite définie par $u_{n+1}=a\,u_n+b$ n'est en général ni arithmétique ni géométrique. On la transforme en suite géométrique grâce au point fixe.

Méthode — recherche du point fixe

si $a=1$ , alors $u_{n+1}=u_n+b$ : la suite est arithmétique ;
si $a\neq1$ , on cherche $\ell$ vérifiant $\ell=a\ell+b$ , soit $\ell=\dfrac{b}{1-a}$ ;
on pose $v_n=u_n-\ell$ . Alors $v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=a(u_n-\ell)=a\,v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ ;
on en déduit $v_n=(u_0-\ell)a^n$ et $u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$ .

Exemple. Soit $u_0=4$ et $u_{n+1}=3u_n-2$ . Le point fixe : $\ell=3\ell-2\Rightarrow\ell=1$ . En posant $v_n=u_n-1$ , on a $v_{n+1}=3v_n$ et $v_0=3$ , donc $v_n=3^{n+1}$ et $u_n=1+3^{n+1}$ .

L'essentiel du chapitre

Une suite est définie par une formule explicite ou par une relation récurrente + termes initiaux.
Arithmétique : $+r$ à chaque pas, $u_n=u_p+(n-p)r$ , variation selon le signe de $r$ , et $2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}$ .
Géométrique : $\times q$ à chaque pas, $u_n=u_pq^{n-p}$ (si $q\neq0$ ), et $u_{n+1}^2=u_nu_{n+2}$ .
Sommes : arithmétique $=$ (nb termes) $\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2$ ; géométrique $=$ (1er) $\times\dfrac{1-q^{\text{nb termes}}}{1-q}$ .
Monotonie : signe de $u_{n+1}-u_n$ , ou comparaison de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ (termes positifs).
Pour $u_{n+1}=au_n+b$ , le point fixe $\ell=\dfrac{b}{1-a}$ fournit la suite géométrique $v_n=u_n-\ell$ (si $a\neq1$ ).

2 · Exercices résolus

Suite arithmétique

Exercice 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n-3$ . Déterminer sa nature, son terme général, puis la somme $S=u_0+u_1+\dots+u_{10}$ .

Voir la correction

$u_{n+1}-u_n=-3$ est constant : $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=-3$ . Donc $u_n=u_0+n\,r=5-3n$ .

La somme compte $11$ termes ( $n=0$ à $10$ ), avec $u_{10}=5-30=-25$ : $S=11\times\dfrac{u_0+u_{10}}{2}=11\times\dfrac{5+(-25)}2=11\times(-10)=-110.\ \blacksquare$

Suite géométrique

Exercice 2

Soit $(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0=2$ et de raison $q=3$ . Calculer $v_5$ et la somme $S=v_0+v_1+\dots+v_5$ .

Voir la correction

Terme général : $v_n=2\times3^n$ , donc $v_5=2\times3^5=2\times243=486$ .

La somme compte $6$ termes : $S=v_0\,\dfrac{1-q^6}{1-q}=2\times\dfrac{1-3^6}{1-3}=2\times\dfrac{1-729}{-2}=2\times364=728.\ \blacksquare$

Suite auxiliaire géométrique

Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_0=1$ et $w_{n+1}=2w_n+3$ . On pose $t_n=w_n+3$ . Montrer que $(t_n)$ est géométrique, puis exprimer $w_n$ en fonction de $n$ .

Voir la correction

$t_{n+1}=w_{n+1}+3=(2w_n+3)+3=2w_n+6=2(w_n+3)=2\,t_n$ . Donc $(t_n)$ est géométrique de raison $2$ , de premier terme $t_0=w_0+3=4$ .

Ainsi $t_n=4\times2^n=2^{n+2}$ , d'où $w_n=t_n-3=2^{n+2}-3$ . $\blacksquare$

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