QCM — Suites numériques

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) lorsque :

   • A\(u_{n+1}=r\,u_n\)
   • ✓\(u_{n+1}=u_n+r\)
   • C\(u_{n+1}=r\)
   • D\(u_n=r\,n^{2}\)

   Remarque

   Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même raison : \(u_{n+1}=u_n+r\), donc \(u_{n+1}-u_n=r\).

2. Question 2

   Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) lorsque :

   • A\(u_{n+1}=u_n+q\)
   • ✓\(u_{n+1}=q\,u_n\)
   • C\(u_{n+1}=q\)
   • D\(u_n=q+n\)

   Remarque

   Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par la même raison : \(u_{n+1}=q\,u_n\).

3. Question 3

   Suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\) : le terme général est :

   • A\(u_0\,r^{n}\)
   • ✓\(u_0+nr\)
   • C\(u_0+r\)
   • D\(nr\)

   Remarque

   \(u_n=u_0+nr\). Plus généralement, \(u_n=u_p+(n-p)r\).

4. Question 4

   Suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\) : le terme général est :

   • A\(u_0+nq\)
   • ✓\(u_0\,q^{n}\)
   • C\(u_0\,q\)
   • D\(q^{n}\)

   Remarque

   \(u_n=u_0\,q^{n}\). Plus généralement, \(u_n=u_p\,q^{\,n-p}\).

5. Question 5

   Une suite arithmétique de raison \(r>0\) est :

   • Adécroissante
   • ✓strictement croissante
   • Cconstante
   • Dbornée

   Remarque

   \(u_{n+1}-u_n=r>0\), donc la suite est strictement croissante. Le signe de \(r\) donne directement le sens de variation.

6. Question 6

   La somme \(1+2+3+\cdots+n\) vaut :

   • ✓\(\dfrac{n(n+1)}{2}\)
   • B\(\dfrac{n(n-1)}{2}\)
   • C\(n^{2}\)
   • D\(n(n+1)\)

   Remarque

   C'est la somme des \(n\) premiers entiers : \(\dfrac{n(n+1)}{2}\).

7. Question 7

   Pour une suite arithmétique, la somme \(u_1+u_2+\cdots+u_n\) vaut :

   • A\(n\cdot u_1\)
   • ✓\(\dfrac{n\,(u_1+u_n)}{2}\)
   • C\(\dfrac{u_1+u_n}{2}\)
   • D\(n\,(u_1+u_n)\)

   Remarque

   Somme = (nombre de termes) × (premier + dernier) ÷ 2, soit \(\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}\).

8. Question 8

   Pour \(q\ne 1\), la somme \(1+q+q^{2}+\cdots+q^{n}\) vaut :

   • ✓\(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
   • B\(\dfrac{1-q^{n}}{1-q}\)
   • C\(n\,q\)
   • D\(q^{n}\)

   Remarque

   Il y a \(n+1\) termes (de \(q^{0}\) à \(q^{n}\)) : la somme géométrique vaut \(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\).

9. Question 9

   La suite définie par \(u_n=(-1)^{n}\) est :

   • Astrictement croissante
   • ✓bornée : \(-1\le u_n\le 1\)
   • Cnon minorée
   • Darithmétique de raison \(-1\)

   Remarque

   Ses termes valent alternativement \(1\) et \(-1\) : elle est bornée (\(-1\le u_n\le 1\)). Elle est d'ailleurs géométrique de raison \(-1\), mais pas arithmétique.

10. Question 10

    La suite définie par \(u_{n+1}=2u_n+3\) est :

    • Aarithmétique
    • Bgéométrique
    • ✓arithmético-géométrique
    • Dconstante

    Remarque

    Elle est de la forme \(u_{n+1}=a\,u_n+b\) avec \(a=2\) et \(b=3\) : c'est une suite arithmético-géométrique. On l'étudie à l'aide de son point fixe.