Fiche de révision — Suites numériques · 1ʳᵉ Bac Sc. Exp.

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Les suites numériques introduisent en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales une nouvelle façon de décrire des évolutions étape par étape. Cette fiche réunit les deux modèles fondamentaux — suites arithmétiques (+r) et géométriques (×q) —, les termes généraux, les sommes de termes consécutifs, l'étude de la monotonie et les suites du type uₙ₊₁ = auₙ + b ramenées à une suite géométrique par le point fixe. L'enjeu est de reconnaître la nature d'une suite avant d'appliquer une formule de somme. Le réflexe qui débloque la monotonie : étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ, ou comparer uₙ₊₁ ⁄ uₙ à 1 quand tous les termes sont positifs.

uₙ

Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Suites numériques — Arithmétiques, géométriques, sommes

Math Excellence

1 · Arithmétique vs géométrique

Arithmétique

u_{n+1}=u_n+r

u_{n+1}-u_n=r

constant

Géométrique

u_{n+1}=q\,u_n

\frac{u_{n+1}}{u_n}=q

constant

Terme général (arith.)

u_n=u_0+nr

u_n=u_p+(n-p)r

Terme général (géo.)

u_n=u_0\,q^n

u_n=u_p\,q^{\,n-p}

Milieu (arith.)

2b=a+c

a,b,c

consécutifs

Milieu (géo.)

b^2=ac

a,b,c

consécutifs

2 · Sommes & monotonie

Somme arithmétique

$=(\text{nb termes})\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2$

1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2

Somme géométrique

(q\neq1)

$=(\text{1er})\times\dfrac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}$

1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Variation (arith.)

$r>0$ : $\nearrow$ ; $r=0$ : constante ; $r<0$ : $\searrow$

Variation (géo.

>0

)

$q>1$ : $\nearrow$ ; $0<q<1$ : $\searrow$
$q<0$ : signes qui alternent

Étudier la monotonie

signe de $u_{n+1}-u_n$
si $u_n>0$ : comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$
si $u_n=f(n)$ : variations de $f$

Compter les termes

de $u_p$ à $u_n$ : $n-p+1$ termes
de $u_0$ à $u_n$ : $n+1$ termes

Piège : vérifier ce compte avant toute somme.

3 · Valeurs & réflexes

1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2

1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

exposant de

q

= nb de termes

arith. :

2b=a+c

géo. :

b^2=ac

bornée

\iff

\exists A,\ |u_n|\le A

u_{n+1}=au_n+b

: point fixe

u_n=\frac{n}{n+1}

0\le u_n&lt;1

4 · Méthodes types

Reconnaître la nature

$u_{n+1}-u_n$ constant ⇒ arithmétique
$\frac{u_{n+1}}{u_n}$ constant ⇒ géométrique

Suite auxiliaire

u_{n+1}=au_n+b

point fixe $\ell=\frac{b}{1-a}\ (a\neq1)$
$v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$
exprimer $v_n$ puis $u_n$

u_{n+1}=3u_n-2\Rightarrow\ell=1,\ v_n=u_n-1

Borne par récurrence

vérifier au 1er indice
supposer $u_n\in[a,b]$ , montrer $u_{n+1}\in[a,b]$

Suite récurrente

u_{n+1}=f(u_n)

escalier : courbe $y=f(x)$ et droite $y=x$
points isolés $M_n(n,u_n)$

★ Astuces géniales

Arithmétique $=+r$ , $u_n=u_0+nr$ ; géométrique $=\times q$ , $u_n=u_0q^n$ .
Somme : c'est le nombre de termes qui donne l'exposant de $q$ , pas le dernier indice.
Une suite auxiliaire $v_n=u_n-\ell$ transforme $u_{n+1}=au_n+b$ en géométrique.
Monotonie : signe de $u_{n+1}-u_n$ , ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ vs $1$ si les termes sont positifs.

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