Fiche de révision — Généralités sur les fonctions · 1ʳᵉ Bac Sc. Exp.

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Les généralités sur les fonctions installent les réflexes d'étude que l'on réutilise dans tout le programme de 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales. Cette fiche récapitule l'ensemble de définition, la parité, la périodicité, le sens de variation obtenu sans dérivée (signe de f(b) − f(a)), les fonctions majorées, minorées ou bornées, la composée et les transformations de courbe. À ce niveau, on apprend à lire ces propriétés directement sur une expression, avant même d'introduire la dérivation. Le réflexe utile : vérifier que le domaine est symétrique avant de conclure à une parité, puis n'étudier qu'une moitié de la courbe.

Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Généralités sur les fonctions — Parité, variations, composée

Math Excellence

1 · Domaine & symétries

Interdits de

D_f

\frac1x,\ \sqrt{u},\ \tan u

x\neq0

u\ge0

\cos u\neq0

Paire

f(-x)=f(x)

symétrie / axe

(Oy)

Impaire

f(-x)=-f(x)

symétrie / origine

O

Périodique

f(x+T)=f(x)

\cos,\sin:2\pi

;

\tan:\pi

Égalité

f=g

D_f=D_g

f(x)=g(x)

Bornée

|f(x)|\le\alpha

majorée et minorée

2 · Variations, bornes & composée

Monotonie (sans dérivée)

pour $a<b$ , étudier le signe de $f(b)-f(a)$
ou le taux $\tau=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Astuce :

\tau\ge0

croissante,

\tau\le0

décroissante.

Majorée · minorée · extremums

majorée : $\exists M,\ f(x)\le M$
max absolu en $x_0$ : $f(x)\le f(x_0)$

Piège : un majorant n'est pas toujours un maximum (borne non atteinte).

Comparer

f

g

signe de $f-g$ : au-dessus / au-dessous
$f-g=0$ : les courbes se coupent

Composée

v\circ u

$(v\circ u)(x)=v(u(x))$ , $u$ d'abord
$D:\ x\in D_u$ et $u(x)\in D_v$

Règle des signes : même sens ⇒ croissante ; sens contraires ⇒ décroissante.

Image d'un intervalle

$f\nearrow$ : $f([a,b])=[f(a),f(b)]$
$f\searrow$ : $f([a,b])=[f(b),f(a)]$

l'intervalle « se retourne » si

f\searrow

3 · Fonctions de référence

Affine

ax+b

\tau=a

Trinôme :

a(x-\alpha)^2+\beta,\ \alpha=-\frac{b}{2a}

Sommet

S(\alpha,\beta)

, axe

x=\alpha

Homographique : centre

I(-\frac dc,\frac ac)

\frac{ad-bc}{(cx+d)(cy+d)}

donne le sens

\sqrt{ax+b}

D=[-\frac ba,+\infty[

a>0

x^3

: impaire,

\nearrow

sur

\mathbb{R}

\frac1x

\searrow

sur

]0,+\infty[

4 · Transformations de

\mathcal C_f

Translations

$f(x)+k$ : verticale $k\vec\jmath$
$f(x-a)$ : horizontale $a\vec\imath$

Symétries

$-f(x)$ : / axe $(Ox)$
$f(-x)$ : / axe $(Oy)$

Valeur absolue

|f(x)|

la partie sous $(Ox)$ est rabattue au-dessus

Plan d'étude

domaine → symétries → signe de $\tau$
→ tableau de variations → extremums → courbe

★ Astuces géniales

Parité : vérifier d'abord que $D_f$ est symétrique, sinon ni paire ni impaire — puis n'étudier qu'une moitié.
Monotonie sans dérivée : le signe de $f(b)-f(a)$ pour $a<b$ .
Comparer deux fonctions = étudier le signe de $f-g$ .
Composée : $u$ agit en premier ; le sens suit la règle des signes.

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