QCM — Généralités sur les fonctions

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   L'ensemble de définition de \(f(x)=\sqrt{x-3}\) est :

   • ✓\([3,+\infty[\)
   • B\(]3,+\infty[\)
   • C\(]-\infty,3]\)
   • D\(\mathbb{R}\)

   Remarque

   Une racine carrée est définie lorsque son contenu est positif ou nul : \(x-3\ge 0\), soit \(x\ge 3\). Donc \(D_f=[3,+\infty[\).

2. Question 2

   L'ensemble de définition de \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\) est :

   • ✓\(\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
   • B\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
   • C\([2,+\infty[\)
   • D\(\mathbb{R}\)

   Remarque

   Un quotient est défini lorsque son dénominateur est non nul : \(x-2\ne 0\), soit \(x\ne 2\). Donc \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

3. Question 3

   Une fonction \(f\), de domaine symétrique, est paire lorsque, pour tout \(x\) :

   • A\(f(-x)=-f(x)\)
   • ✓\(f(-x)=f(x)\)
   • C\(f(x+T)=f(x)\)
   • D\(f(x)=0\)

   Remarque

   La parité s'écrit \(f(-x)=f(x)\) ; la courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées \((Oy)\).

4. Question 4

   La fonction \(f(x)=x^{3}\) est :

   • Apaire
   • ✓impaire
   • Cni paire ni impaire
   • Dpériodique

   Remarque

   \(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\) : \(f\) est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).

5. Question 5

   \(f\) est strictement croissante sur \(I\) lorsque, pour tous \(a,b\in I\) avec \(a<b\) :

   • ✓\(f(a)<f(b)\)
   • B\(f(a)>f(b)\)
   • C\(f(a)=f(b)\)
   • D\(f(a)\le f(b)\)

   Remarque

   Strictement croissante = conserve l'ordre strict : \(a<b\Rightarrow f(a)<f(b)\).

6. Question 6

   Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) (\(a\ne b\)) est :

   • A\(f(b)-f(a)\)
   • ✓\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
   • C\(\dfrac{b-a}{f(b)-f(a)}\)
   • D\(f(b)+f(a)\)

   Remarque

   Le taux d'accroissement \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) est la pente de la corde reliant les points d'abscisses \(a\) et \(b\).

7. Question 7

   Si le taux d'accroissement de \(f\) est strictement positif entre deux points quelconques de \(I\), alors \(f\) est :

   • Adécroissante sur \(I\)
   • ✓strictement croissante sur \(I\)
   • Cconstante sur \(I\)
   • Dpaire

   Remarque

   Un taux d'accroissement toujours positif traduit exactement la stricte croissance : les images conservent l'ordre.

8. Question 8

   La fonction \(x\mapsto\cos x\) est périodique de période :

   • A\(\pi\)
   • ✓\(2\pi\)
   • C\(\dfrac{\pi}{2}\)
   • D\(4\pi\)

   Remarque

   \(\cos(x+2\pi)=\cos x\) pour tout \(x\) : la plus petite période positive du cosinus est \(2\pi\).

9. Question 9

   Sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(x\mapsto x^{2}\) est :

   • Astrictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
   • ✓décroissante sur \(]-\infty,0]\) et croissante sur \([0,+\infty[\)
   • Cstrictement décroissante sur \(\mathbb{R}\)
   • Dconstante

   Remarque

   Elle décroît sur \(]-\infty,0]\), atteint son minimum \(0\) en \(x=0\), puis croît sur \([0,+\infty[\).

10. Question 10

    Soit \(f(x)=\sqrt{x}\) et \(g(x)=x^{2}+1\). Alors \((f\circ g)(x)\) vaut :

    • ✓\(\sqrt{x^{2}+1}\)
    • B\((\sqrt{x})^{2}+1\)
    • C\(x+1\)
    • D\(\sqrt{x}\,(x^{2}+1)\)

    Remarque

    \((f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\sqrt{g(x)}=\sqrt{x^{2}+1}\) : on applique d'abord \(g\), puis \(f\).