1ʳᵉ Bac · Sciences Expérimentales · Chapitre 2

Généralités sur les fonctions

Une fonction, ce n'est pas seulement une formule : c'est une forme et un comportement. Ce chapitre vous donne tout le vocabulaire pour décrire ce comportement — ensemble de définition, parité, périodicité, monotonie, bornes, symétries — et surtout les outils pour le démontrer proprement, sans encore utiliser la dérivée (elle arrive plus tard dans l'année). Vous apprendrez à déterminer un domaine, à lire une courbe, à prouver qu'une fonction est croissante par le signe de f(b) − f(a), à reconnaître une fonction majorée, minorée ou bornée, à comparer deux fonctions par le signe de leur différence, et à composer deux fonctions. Les fonctions de référence, le second degré et la fonction homographique complètent la boîte à outils que vous réutiliserez dans l'étude des fonctions, les limites et la dérivabilité.

1 · Résumé du cours

Une fonction ne se résume pas à sa formule : elle a une forme, un comportement. Ce chapitre installe le vocabulaire qui décrit ce comportement — parité, monotonie, bornes, symétries — et les outils qui permettent de le démontrer, sans encore recourir à la dérivée.

1.1 Fonction numérique et ensemble de définition

Définition — fonction numérique Une fonction numérique

f

définie sur un ensemble

D\subset\mathbb{R}

associe à chaque réel

x\in D

un unique réel noté

f(x)

f:D\longrightarrow\mathbb{R},\qquad x\longmapsto f(x).

Le nombre

f(x)

est l'image de

x

par

f

. Si

f(x)=y

, alors

x

est un antécédent de

y

par

f

Image unique, antécédents éventuels Un nombre

x\in D

possède une seule image. En revanche, un réel

y

peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents. Chercher les antécédents de

y

revient à résoudre l'équation

f(x)=y

dans

D_f

Définition — ensemble de définition L'ensemble de définition

D_f

est l'ensemble de tous les réels

x

pour lesquels l'expression

f(x)

a un sens.

Règles usuelles pour déterminer

D_f

une fonction polynomiale est définie sur $\mathbb{R}$ ;
une fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ exige $B(x)\neq0$ ;
une racine carrée $\sqrt{A(x)}$ exige $A(x)\ge0$ ;
une expression $\dfrac1{\sqrt{A(x)}}$ exige $A(x)>0$ .

Lorsque plusieurs contraintes apparaissent,

D_f

est leur intersection.

Exemple. Pour $f(x)=\dfrac{\sqrt{2x-1}}{x-3}$ , il faut simultanément $2x-1\ge0$ et $x-3\neq0$ . Ainsi $D_f=\left[\frac12,+\infty\right[\setminus\{3\}$ .

Définition — égalité de deux fonctions Deux fonctions

f

g

sont égales si elles ont le même ensemble de définition et si

\forall x\in D_f,\ f(x)=g(x)

. Une même formule sur un domaine différent ne définit donc pas la même fonction.

Exemple. Les expressions $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ et $x+1$ sont égales pour tout $x\neq1$ , mais les fonctions qu'elles définissent ne sont pas égales si la seconde est prise sur $\mathbb{R}$ : leurs domaines diffèrent.

1.2 Représentation graphique et lectures

Dans un repère, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ est l'ensemble des points $M\big(x,f(x)\big)$ avec $x\in D_f$ .

Traductions graphiques

$f(a)=b$ signifie que le point $(a,b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ ;
les solutions de $f(x)=k$ sont les abscisses des intersections de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale $y=k$ ;
les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des intersections de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ;
$f(x)\ge k$ lorsque $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la droite $y=k$ ;
$f(x)\ge g(x)$ lorsque $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ .

Méthode — résoudre graphiquement

repérer la courbe ou tracer la droite de comparaison ;
lire les abscisses des points d'intersection pour une équation ;
lire les intervalles où une courbe est au-dessus / au-dessous pour une inéquation ;
donner des valeurs approchées si la lecture n'est pas exacte.

1.3 Parité et périodicité

Définition — parité Soit

f

définie sur

D_f

symétrique par rapport à $0$ (c.-à-d.

x\in D_f\Rightarrow -x\in D_f

$f$ est paire si $\forall x\in D_f,\ f(-x)=f(x)$ ;
$f$ est impaire si $\forall x\in D_f,\ f(-x)=-f(x)$ .

Traduction graphique

$f$ paire $\iff$ $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ ;
$f$ impaire $\iff$ $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'origine $O$ .

La parité permet de n'étudier

f

que sur

D_f\cap[0,+\infty[

, puis de compléter par symétrie.

Méthode — étudier la parité

vérifier d'abord que $D_f$ est symétrique (sinon $f$ n'est ni paire ni impaire) ;
calculer $f(-x)$ ;
comparer à $f(x)$ (paire) et à $-f(x)$ (impaire).

Exemple. $f(x)=x^2+\cos x$ sur $\mathbb{R}$ : $f(-x)=(-x)^2+\cos(-x)=x^2+\cos x=f(x)$ . La fonction est paire.

Axe ou centre de symétrie quelconque Soit

\mathcal{C}_f

la courbe de

f

la droite $x=a$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si le domaine est symétrique par rapport à $a$ et si $\forall h,\ f(a-h)=f(a+h)$ ;
le point $I(a,b)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si le domaine est symétrique par rapport à $a$ et si $\forall h,\ f(a-h)+f(a+h)=2b$ .

La parité correspond au cas

a=0

; pour une fonction impaire, le centre est

O(0,0)

Exemple. Pour $f(x)=(x-2)^2+1$ , on a $f(2-h)=h^2+1=f(2+h)$ . La droite $x=2$ est donc un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ .

Définition — périodicité

f

est périodique de période $T>0$ si, pour tout réel

x

x\in D_f\iff x+T\in D_f\qquad\text{et}\qquad f(x+T)=f(x).

Sa courbe est alors invariante par la translation de vecteur

T\,\vec{\imath}

: il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur

T

Exemple. $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont périodiques de période $2\pi$ ; $x\mapsto\tan x$ est périodique de période $\pi$ .

1.4 Opérations sur les fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $\lambda\in\mathbb{R}$ . Pour tout réel $x$ où les expressions ont un sens :

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (fg)(x)=f(x)g(x),\qquad (\lambda f)(x)=\lambda f(x),\qquad \left(\frac fg\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.

Domaines des opérations

D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g,\qquad D_{f/g}=\{x\in D_f\cap D_g\mid g(x)\neq0\}.

Multiplier une fonction par un réel ne change pas son domaine, sauf si la nouvelle écriture masque une restriction de la fonction initiale.

Exemple. Pour $f(x)=\sqrt{x+1}$ et $g(x)=x-2$ , on a $D_f=[-1,+\infty[$ et $D_g=\mathbb{R}$ . Donc $D_{f+g}=[-1,+\infty[$ et $D_{f/g}=[-1,+\infty[\setminus\{2\}$ .

Déterminer le domaine avant de simplifier Une simplification algébrique ne réintroduit jamais une valeur interdite. Par exemple,

\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1

seulement pour $x\neq1$ : la restriction

x\neq1

doit être conservée.

1.5 Monotonie

Définition — sens de variation Soit

f

définie sur un intervalle

I

f

est, sur

I

croissante si $\forall a,b\in I,\ a\le b\Rightarrow f(a)\le f(b)$ (elle conserve l'ordre) ;
décroissante si $\forall a,b\in I,\ a\le b\Rightarrow f(a)\ge f(b)$ (elle inverse l'ordre) ;
constante si $f$ garde la même valeur sur $I$ .

On parle de monotonie stricte avec des inégalités strictes.

Définition — taux de variation Le taux de variation de

f

entre deux réels distincts

a

b

I

est

\tau=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Monotonie par le taux de variation Sur un intervalle

I

f \text{ croissante} \iff \tau\ge0 \text{ pour tous } a\neq b,\qquad f \text{ décroissante} \iff \tau\le0.

Pour une monotonie stricte, on remplace

\ge0

\le0

par

>0

<0

Méthode — étudier la monotonie sans dérivée Pour deux réels

a<b

I

, on calcule et on étudie le signe de la différence

f(b)-f(a)

(ou du taux

\tau

). Un signe constant

\Rightarrow

f

est monotone.

Exemple. $f(x)=x^2$ est croissante sur $[0,+\infty[$ : pour $0\le a<b$ , $f(b)-f(a)=b^2-a^2=(b-a)(b+a)>0$ car $b-a>0$ et $b+a>0$ .

Parité et variations · translations verticales

si $f$ est paire, les variations sur la partie négative sont inverses de celles observées sur la partie positive ;
si $f$ est impaire, les variations sur les deux parties ont le même sens ;
$k+f$ a le même sens de variation que $f$ (translation verticale) ;
$k\,f$ a le même sens que $f$ si $k>0$ , le sens contraire si $k<0$ .

1.6 Fonction majorée, minorée, bornée

Définition Soit

f

définie sur

D

f

est :

majorée sur $D$ s'il existe $M\in\mathbb{R}$ tel que $\forall x\in D,\ f(x)\le M$ ( $M$ est un majorant) ;
minorée s'il existe $m\in\mathbb{R}$ tel que $\forall x\in D,\ f(x)\ge m$ ( $m$ est un minorant) ;
bornée si elle est à la fois majorée et minorée : $\exists m,M,\ \forall x\in D,\ m\le f(x)\le M$ .

Graphiquement, une fonction bornée a sa courbe prise entre les droites

y=m

y=M

Définition — extremums

f

admet un maximum global en

x_0\in D

\forall x\in D,\ f(x)\le f(x_0)

; un minimum global si

\forall x\in D,\ f(x)\ge f(x_0)

. La valeur extrême est alors atteinte. Un extremum local ne vérifie l'inégalité que pour les

x

suffisamment proches de

x_0

, et n'est pas nécessairement l'extremum sur tout le domaine.

Une fonction monotone sur un segment est bornée Si

f

est monotone sur

[a,b]

, alors pour

x\in[a,b]

f\text{ croissante}\Rightarrow f(a)\le f(x)\le f(b),\qquad f\text{ décroissante}\Rightarrow f(b)\le f(x)\le f(a).

Majorant atteint ou non

M

majore

f

sans forcément être une valeur de

f

. Pour

f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}

, on a

f(x)<1

pour tout

x

1

est un majorant, mais jamais atteint — ce n'est donc pas un maximum.

1.7 Comparaison de deux fonctions

Définition Soient

f

g

définies sur un même ensemble

D

. On dit que

f\le g

sur

D

\forall x\in D,\ f(x)\le g(x)

Position relative des courbes Le signe de la différence

f-g

situe les courbes l'une par rapport à l'autre :

$f(x)-g(x)>0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ ;
$f(x)-g(x)<0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessous ;
$f(x)-g(x)=0$ : les courbes se coupent.

Comparer

f

g

, c'est donc étudier le signe de

f(x)-g(x)

(factorisation, tableau de signes).

1.8 Image d'un intervalle

Définition L'image d'un intervalle

I

par

f

, notée

f(I)

, est l'ensemble des valeurs

f(x)

obtenues lorsque

x

parcourt

I

f(I)=\{f(x)\mid x\in I\}

Encadrement par monotonie Si

f

est monotone sur

[a,b]

, alors :

f\text{ croissante}\Rightarrow f([a,b])\subset[f(a),f(b)],\qquad f\text{ décroissante}\Rightarrow f([a,b])\subset[f(b),f(a)].

Les bornes sont atteintes en

a

b

Encadrement ≠ image exacte La monotonie suffit pour encadrer

f(x)

entre les valeurs aux extrémités, mais elle ne prouve pas à elle seule que toutes les valeurs intermédiaires sont prises : cela sera garanti plus tard par la continuité.

1.9 Fonctions de référence

Les fonctions usuelles servent de modèles. Leurs domaines, variations et symétries doivent être connus.

Fonctions usuelles — domaine et variations

$x\mapsto ax+b$ sur $\mathbb{R}$ : croissante si $a>0$ , décroissante si $a<0$ , constante si $a=0$ ;
$x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$ : paire ; décroissante sur $]-\infty,0]$ , croissante sur $[0,+\infty[$ ; minimum $0$ ;
$x\mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$ : impaire et strictement croissante ;
$x\mapsto\dfrac1x$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ : impaire ; strictement décroissante sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$ ;
$x\mapsto\sqrt x$ sur $[0,+\infty[$ : strictement croissante ; minimum $0$ ;
$x\mapsto|x|$ sur $\mathbb{R}$ : paire ; décroissante sur $]-\infty,0]$ , croissante sur $[0,+\infty[$ ; minimum $0$ .

Fonction du second degré Soit

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a\neq0

. En posant

\alpha=-\dfrac{b}{2a}

\beta=f(\alpha)

, on obtient la forme canonique

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

. La courbe est une parabole de sommet

S(\alpha,\beta)

et d'axe

x=\alpha

si $a>0$ : décroissante sur $]-\infty,\alpha]$ , croissante sur $[\alpha,+\infty[$ ; minimum $\beta$ ;
si $a<0$ : croissante sur $]-\infty,\alpha]$ , décroissante sur $[\alpha,+\infty[$ ; maximum $\beta$ .

Exemple. $f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$ : sommet $S(2,1)$ , axe $x=2$ , minimum $1$ sur $\mathbb{R}$ .

Fonction homographique Soit

f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}

avec

c\neq0

. Alors

D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac dc\right\}

f(x)=\dfrac ac+\dfrac{bc-ad}{c(cx+d)}

. Si

ad-bc\neq0

, la courbe a le centre de symétrie

I\left(-\dfrac dc,\dfrac ac\right)

, et sur chacun des deux intervalles du domaine

f

est strictement croissante si

ad-bc>0

, strictement décroissante si

ad-bc<0

Homographique sans dérivée Pour

x\neq y

dans le même intervalle :

\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)(cy+d)}

. Les deux facteurs du dénominateur ont le même signe ; le signe du taux est donc celui de

ad-bc

1.10 Composée de deux fonctions

Définition Soient

u

v

deux fonctions. La composée

v\circ u

(«

v

rond

u

») est

(v\circ u)(x)=v\big(u(x)\big)

, pour les

x

tels que

u(x)

existe et appartient à

D_v

. Son domaine est

D_{v\circ u}=\{x\in D_u\mid u(x)\in D_v\}.

Exemple. Pour $u(x)=3x+4$ et $v(t)=\dfrac1{t+1}$ ( $D_v=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ ), il faut $u(x)\neq-1$ , soit $x\neq-\dfrac53$ . Ainsi $D_{v\circ u}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac53\right\}$ et $(v\circ u)(x)=\dfrac1{3x+5}$ .

On applique

u

d'abord Dans

v\circ u

, c'est

u

qui agit en premier (elle est « à l'intérieur »), puis

v

. L'ordre compte : en général

v\circ u\neq u\circ v

Monotonie d'une composée Sur des intervalles où tout est défini :

$u$ et $v$ de même sens $\Rightarrow$ $v\circ u$ croissante ;
$u$ et $v$ de sens contraires $\Rightarrow$ $v\circ u$ décroissante.

(« Règle des signes » :

+\times+=+

-\times-=+

+\times-=-

Exemple. $h(x)=\sqrt{-x+3}$ sur $]-\infty,3]$ : c'est $v\circ u$ avec $u(x)=-x+3$ (décroissante) et $v(t)=\sqrt t$ (croissante). Sens contraires $\Rightarrow$ $h$ décroissante.

1.11 Transformations de courbes

Lire une courbe associée sans nouveau calcul À partir de

\mathcal{C}_f

, la courbe

\mathcal{C}_g

se déduit par :

$g(x)=f(x)+k$ : translation verticale de vecteur $k\,\vec{\jmath}$ ;
$g(x)=f(x-a)$ : translation horizontale de vecteur $a\,\vec{\imath}$ ;
$g(x)=-f(x)$ : symétrie par rapport à l'axe $(Ox)$ ;
$g(x)=f(-x)$ : symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$ ;
$g(x)=|f(x)|$ : la partie sous $(Ox)$ est rabattue au-dessus ;
$g(x)=f(|x|)$ : la partie pour $x\ge0$ est reproduite par symétrie par rapport à $(Oy)$ .

L'essentiel du chapitre

Domaine : traiter toutes les contraintes avant de simplifier ; une image est unique, un réel peut avoir plusieurs antécédents.
Lecture graphique : intersections pour les équations, positions relatives pour les inéquations.
Parité : $D_f$ symétrique, puis $f(-x)=f(x)$ (paire, axe $Oy$ ) ou $-f(x)$ (impaire, centre $O$ ).
Monotonie sans dérivée : signe de $f(b)-f(a)$ pour $a<b$ .
Bornée = majorée et minorée ; un majorant n'est pas toujours un maximum.
Comparer $f$ et $g$ = étudier le signe de $f-g$ .
Connaître les fonctions de référence, le second degré et l'homographique.
Composée $v\circ u$ : $u$ agit d'abord ; monotonie par la « règle des signes ».
Transformations : $f+k$ , $f(x-a)$ , $-f$ , $f(-x)$ , $|f|$ , $f(|x|)$ se lisent sur $\mathcal{C}_f$ .

2 · Exercices résolus

Parité

Exercice 1

Étudier la parité de $f(x)=\dfrac{x^3-x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

$D_f=\mathbb{R}$ est symétrique. On calcule $f(-x)=\dfrac{(-x)^3-(-x)}{(-x)^2+1}=\dfrac{-x^3+x}{x^2+1}=-\dfrac{x^3-x}{x^2+1}=-f(x).$ $f$ est donc impaire : sa courbe est symétrique par rapport à $O$ . $\blacksquare$

Monotonie

Exercice 2

Montrer que $f(x)=\dfrac1x$ est décroissante sur $]0,+\infty[$ .

Voir la correction

Soient $0<a<b$ . Alors $f(b)-f(a)=\dfrac1b-\dfrac1a=\dfrac{a-b}{ab}$ . Comme $a-b<0$ et $ab>0$ , on a $f(b)-f(a)<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$ . $\blacksquare$

Fonction bornée

Exercice 3

Soit $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ . Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ , avec $-\dfrac12\le f(x)\le\dfrac12$ .

Voir la correction

Comme $x^2+1>0$ , on multiplie chaque inégalité par $x^2+1$ sans changer de sens, et tout se ramène à un carré parfait.

Majoration : $f(x)\le\dfrac12\iff 2x\le x^2+1\iff 0\le x^2-2x+1=(x-1)^2$ , toujours vrai. Donc $f(x)\le\dfrac12$ .

Minoration : $f(x)\ge-\dfrac12\iff 2x\ge-(x^2+1)\iff x^2+2x+1\ge0\iff (x+1)^2\ge0$ , toujours vrai. Donc $f(x)\ge-\dfrac12$ .

Finalement $-\dfrac12\le f(x)\le\dfrac12$ : $f$ est bornée (les bornes sont même atteintes, en $x=1$ et $x=-1$ ). $\blacksquare$

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