Aller au contenu principal
MathExcellence
← Toutes les fiches

La logique fixe, dès l'entrée en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales, le langage dans lequel s'écrivent toutes les démonstrations de l'année. Cette fiche réunit les connecteurs (négation, et, ou, implication, équivalence), les quantificateurs ∀ et ∃ avec leur négation, et les grands modes de raisonnement : direct, par contraposée, par l'absurde, par disjonction des cas, par contre-exemple et par récurrence. En Sciences Expérimentales, l'objectif n'est pas la théorie mais la rigueur d'écriture : une implication mal niée fausse toute la réponse. Le réflexe à garder : la négation de « ∀x, P(x) » est « ∃x, non P(x) », et l'on nie en échangeant les quantificateurs de gauche à droite.

⇔
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Notions de logique — Connecteurs, quantificateurs & raisonnements

Math Excellence
1 · Les connecteurs logiques
P‾\overline P
Négation
vraie ssi PP fausse
P∧QP\wedge Q
Conjonction « et »
vraie ssi les deux vraies
P∨QP\vee Q
Disjonction « ou » inclusif
fausse ssi les deux fausses
P⇒QP\Rightarrow Q
Implication
fausse seulement si PP V et QQ F
P⇔QP\Leftrightarrow Q
Équivalence
vraie ssi même valeur
∃! x\exists!\,x
Existence unique
un et un seul xx
PQP‾P∧QP⇒QP⇔QVVFVVVVFFFFFFVVFVFFFVFVV\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline P & Q & \overline P & P\wedge Q & P\Rightarrow Q & P\Leftrightarrow Q\\ \hline V & V & F & V & V & V\\ \hline V & F & F & F & F & F\\ \hline F & V & V & F & V & F\\ \hline F & F & V & F & V & V\\ \hline\end{array}
2 · Quantificateurs & négation
∀\forall et ∃\exists
  • ∀x∈E, P(x)\forall x\in E,\ P(x) : « pour tout »
  • ∃x∈E, P(x)\exists x\in E,\ P(x) : « il existe »
  • le domaine EE fait partie de l'énoncé
Ex : ∃x∈R, x2=2\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=2 (V) mais ∃x∈Q, x2=2\exists x\in\mathbb{Q},\ x^2=2 (F)
Nier une proposition quantifiée
  • on échange ∀↔∃\forall\leftrightarrow\exists
  • on nie le prédicat final
(∀x, P(x))‾=∃x, P(x)‾\overline{(\forall x,\ P(x))}=\exists x,\ \overline{P(x)}
Astuce : nier de gauche à droite, sans changer l'ordre.
L'ordre ∀/∃\forall/\exists compte
  • ∀x,∃y, y>x\forall x,\exists y,\ y>x : V (yy dépend de xx)
  • ∃y,∀x, y>x\exists y,\forall x,\ y>x : F
Piège : ∀\forall et ∃\exists ne commutent pas.
De Morgan — le réflexe pour nier
  • P∧Q‾=P‾∨Q‾\overline{P\wedge Q}=\overline P\vee\overline Q
  • P∨Q‾=P‾∧Q‾\overline{P\vee Q}=\overline P\wedge\overline Q
  • P⇒Q‾=P∧Q‾\overline{P\Rightarrow Q}=P\wedge\overline Q
négation de « x≥0x\ge0 et x≤1x\le1 » : « x<0 ou x>1x>1 »
3 · Lois logiques (tautologies) à connaître
P‾‾⇔P\overline{\overline P}\Leftrightarrow P
P∧Q⇔Q∧PP\wedge Q\Leftrightarrow Q\wedge P
P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)P\vee(Q\wedge R)\Leftrightarrow(P\vee Q)\wedge(P\vee R)
P∧Q‾⇔P‾∨Q‾\overline{P\wedge Q}\Leftrightarrow\overline P\vee\overline Q
P∨Q‾⇔P‾∧Q‾\overline{P\vee Q}\Leftrightarrow\overline P\wedge\overline Q
(P⇒Q)⇔(P‾∨Q)(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline P\vee Q)
(P⇒Q)⇔(Q‾⇒P‾)(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline Q\Rightarrow\overline P)
P⇒Q‾⇔(P∧Q‾)\overline{P\Rightarrow Q}\Leftrightarrow(P\wedge\overline Q)
[(P⇒Q)∧(Q⇒R)]⇒(P⇒R)\big[(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow R)\big]\Rightarrow(P\Rightarrow R)
Réciproque : Q⇒PQ\Rightarrow P
Contraposée : Q‾⇒P‾\overline Q\Rightarrow\overline P
PP suffisante, QQ nécessaire
4 · Les grands raisonnements
Direct
  • supposer PP, enchaîner jusqu'à QQ
somme de deux rationnels ∈Q\in\mathbb{Q}
Contraposée
  • prouver Q‾⇒P‾\overline Q\Rightarrow\overline P au lieu de P⇒QP\Rightarrow Q
n2n^2 impair ⇒n\Rightarrow n impair
Par l'absurde
  • supposer P‾\overline P, aboutir à une contradiction
2∉Q\sqrt2\notin\mathbb{Q}
Contre-exemple
  • nier ∀x, P(x)\forall x,\ P(x) : exhiber un seul x0x_0
« x2=4⇒x=2x^2=4\Rightarrow x=2 » faux : x=−2x=-2
Disjonction des cas
  • partager EE en cas qui le recouvrent
n(n+1)n(n+1) pair : nn pair ou impair
Récurrence
  • Init. P(n0)P(n_0) ; Hérédité P(n)⇒P(n+1)P(n)\Rightarrow P(n+1)
  • conclure ∀n≥n0\forall n\ge n_0
Piège : sans initialisation, on ne prouve rien !
★ Astuces géniales
  • « Le faux implique tout » : si PP est fausse, P⇒QP\Rightarrow Q est vraie.
  • Prouver une équivalence = prouver deux implications (les deux sens).
  • Nier = De Morgan + échange des quantificateurs, de gauche à droite.
  • Une équation par équivalences : chaque étape doit être réversible.
Math Excellence · Travail — Méthode — Réussite · mathexce.com
Le cours completRevois le chapitre en détail — définitions, théorèmes et exemples résolusLire le coursQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 10 questions auto-corrigéesCommencer le QCM