QCM — Notions de logique

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   La négation de la proposition \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^{2}\ge 0\) est :

   • A\((\forall x\in\mathbb{R})\ x^{2}<0\)
   • ✓\((\exists x\in\mathbb{R})\ x^{2}<0\)
   • C\((\exists x\in\mathbb{R})\ x^{2}\ge 0\)
   • D\((\forall x\in\mathbb{R})\ x^{2}\le 0\)

   Remarque

   La négation d'un « pour tout » est un « il existe » : \(\neg(\forall x,\,P(x))=(\exists x,\,\neg P(x))\). La négation de \(x^2\ge 0\) est \(x^2<0\).

2. Question 2

   L'implication \(P\Rightarrow Q\) est fausse dans quel cas, et seulement celui-là ?

   • ✓\(P\) vraie et \(Q\) fausse
   • B\(P\) fausse et \(Q\) vraie
   • C\(P\) et \(Q\) toutes deux fausses
   • D\(P\) et \(Q\) toutes deux vraies

   Remarque

   Une implication n'est fausse que lorsque l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie (en particulier lorsque \(P\) est fausse).

3. Question 3

   La contraposée de \(P\Rightarrow Q\) est :

   • A\(Q\Rightarrow P\)
   • B\(\neg P\Rightarrow \neg Q\)
   • ✓\(\neg Q\Rightarrow \neg P\)
   • D\(P\Rightarrow \neg Q\)

   Remarque

   La contraposée est \(\neg Q\Rightarrow\neg P\). Elle a exactement la même valeur de vérité que \(P\Rightarrow Q\) : les démontrer revient au même.

4. Question 4

   La négation de « \(P\) et \(Q\) » est :

   • A\(\neg P\) et \(\neg Q\)
   • ✓\(\neg P\) ou \(\neg Q\)
   • C\(P\) ou \(Q\)
   • D\(\neg(P\Rightarrow Q)\)

   Remarque

   Lois de De Morgan : \(\neg(P\wedge Q)=\neg P\vee\neg Q\). De même \(\neg(P\vee Q)=\neg P\wedge\neg Q\).

5. Question 5

   L'équivalence \(P\Leftrightarrow Q\) signifie :

   • ✓\((P\Rightarrow Q)\) et \((Q\Rightarrow P)\)
   • B\(P\Rightarrow Q\) uniquement
   • C\(P\) ou \(Q\)
   • D\(P\) et \(Q\) sont vraies

   Remarque

   \(P\Leftrightarrow Q\) est la double implication : \(P\Rightarrow Q\) ET \(Q\Rightarrow P\). Les deux propositions ont alors toujours la même valeur de vérité.

6. Question 6

   Pour prouver qu'une proposition « \((\forall x)\ P(x)\) » est fausse, il suffit de :

   • Avérifier \(P\) sur un exemple
   • ✓exhiber un contre-exemple
   • Craisonner par récurrence
   • Dcalculer la contraposée

   Remarque

   Un seul contre-exemple (un \(x\) pour lequel \(P(x)\) est fausse) suffit à réfuter un énoncé universel. Un exemple qui marche, lui, ne prouve jamais un « pour tout ».

7. Question 7

   La négation de \((\exists x\in\mathbb{R})\ x+1=0\) est :

   • A\((\exists x\in\mathbb{R})\ x+1\ne 0\)
   • ✓\((\forall x\in\mathbb{R})\ x+1\ne 0\)
   • C\((\forall x\in\mathbb{R})\ x+1=0\)
   • D\((\exists x\in\mathbb{R})\ x-1=0\)

   Remarque

   \(\neg(\exists x,\,P(x))=(\forall x,\,\neg P(x))\). La négation de \(x+1=0\) est \(x+1\ne 0\).

8. Question 8

   Le raisonnement par récurrence, pour démontrer \(P(n)\) pour tout \(n\ge n_0\), comporte :

   • Auniquement l'hérédité
   • ✓l'initialisation puis l'hérédité
   • Cuniquement l'initialisation
   • Dun contre-exemple

   Remarque

   On vérifie d'abord l'initialisation \(P(n_0)\), puis l'hérédité : \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\). Les deux étapes sont indispensables.

9. Question 9

   L'implication « \(x^{2}=4\Rightarrow x=2\) » (pour \(x\in\mathbb{R}\)) est :

   • Avraie
   • ✓fausse, car \(x=-2\) est un contre-exemple
   • Cvraie par contraposée
   • Dune équivalence

   Remarque

   \(x=-2\) vérifie \(x^{2}=4\) mais pas \(x=2\) : l'hypothèse est vraie, la conclusion fausse. L'implication est donc fausse.

10. Question 10

    La proposition \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\ y>x\) est :

    • ✓vraie
    • Bfausse
    • Cvraie seulement pour \(x>0\)
    • Dindéterminée

    Remarque

    Pour chaque \(x\), il suffit de prendre \(y=x+1\) qui vérifie \(y>x\). L'ordre des quantificateurs compte : ici \(y\) peut dépendre de \(x\).