QCM — Le barycentre dans le plan

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le barycentre de \((A,\alpha)\) et \((B,\beta)\) existe à condition que :

   • A\(\alpha=\beta\)
   • ✓\(\alpha+\beta\ne 0\)
   • C\(\alpha+\beta=0\)
   • D\(\alpha\,\beta>0\)

   Remarque

   Le barycentre n'est défini que si la somme des coefficients est non nulle : \(\alpha+\beta\ne 0\). Sinon \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}\) est un vecteur constant.

2. Question 2

   Si \(G\) est le barycentre de \((A,\alpha)\) et \((B,\beta)\), alors pour tout point \(M\) :

   • ✓\(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}\)
   • B\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}\)
   • C\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\)
   • D\(\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\)

   Remarque

   Propriété fondamentale de réduction : \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}\), valable pour tout point \(M\).

3. Question 3

   La propriété caractéristique du barycentre \(G\) de \((A,\alpha)\) et \((B,\beta)\) s'écrit :

   • ✓\(\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\)
   • B\(\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}\)
   • C\(\alpha\overrightarrow{GA}=\beta\overrightarrow{GB}\)
   • D\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}\)

   Remarque

   En prenant \(M=G\) dans la relation de réduction : \(\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\). C'est la définition du barycentre.

4. Question 4

   L'isobarycentre de deux points \(A\) et \(B\) est :

   • Ale point \(A\)
   • ✓le milieu du segment \([AB]\)
   • Cle symétrique de \(A\) par rapport à \(B\)
   • Dun point à l'extérieur de \([AB]\)

   Remarque

   L'isobarycentre correspond à des coefficients égaux : le barycentre de \((A,1)\) et \((B,1)\) est le milieu \(I\) de \([AB]\).

5. Question 5

   Dans un repère, le barycentre de \((A,\alpha)\) et \((B,\beta)\) a pour abscisse :

   • ✓\(\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}\)
   • B\(x_A+x_B\)
   • C\(\dfrac{x_A+x_B}{2}\)
   • D\(\alpha x_A+\beta x_B\)

   Remarque

   Les coordonnées du barycentre sont les moyennes pondérées : \(x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}\) (idem pour \(y_G\)).

6. Question 6

   Le barycentre d'un système est inchangé si l'on multiplie tous les coefficients par un même réel \(k\ne 0\). Cette propriété s'appelle :

   • ✓l'homogénéité
   • Bl'associativité
   • Cla commutativité
   • Dla linéarité

   Remarque

   C'est l'homogénéité : \((A,\alpha),(B,\beta)\) et \((A,k\alpha),(B,k\beta)\) ont le même barycentre. On simplifie souvent les coefficients grâce à cela.

7. Question 7

   L'associativité du barycentre permet de :

   • ✓remplacer deux points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients
   • Bchanger l'ordre des points
   • Csupprimer un point du système
   • Dajouter un point de coefficient nul

   Remarque

   On peut regrouper une partie du système par son barycentre partiel \(H\), affecté de la somme des coefficients regroupés, sans changer le barycentre global.

8. Question 8

   L'isobarycentre \(G\) d'un triangle \(ABC\) est :

   • Al'orthocentre
   • ✓le centre de gravité
   • Cle centre du cercle circonscrit
   • Dun sommet du triangle

   Remarque

   L'isobarycentre de \(A\), \(B\), \(C\) (coefficients \(1,1,1\)) est le centre de gravité, intersection des médianes. On a \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).

9. Question 9

   Pour le centre de gravité \(G\) de \(ABC\) et le milieu \(A'\) de \([BC]\), on a :

   • ✓\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\)
   • B\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}\)
   • C\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AA'}\)
   • D\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AA'}\)

   Remarque

   Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane depuis le sommet : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\).

10. Question 10

    Le barycentre de \((A,2)\) et \((B,-1)\) vérifie :

    • A\(\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AB}\)
    • ✓\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}\)
    • C\(G\) est le milieu de \([AB]\)
    • D\(G\) n'existe pas

    Remarque

    La somme \(2+(-1)=1\ne 0\) : \(G\) existe. On a \(2\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\), d'où (avec \(M=A\)) \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(B\).