QCM — Le produit scalaire dans le plan

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le produit scalaire \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\) s'exprime, avec les normes et l'angle \(\theta\), par :

   • A\(\|\overrightarrow{u}\|\,\|\overrightarrow{v}\|\,\sin\theta\)
   • ✓\(\|\overrightarrow{u}\|\,\|\overrightarrow{v}\|\,\cos\theta\)
   • C\(\|\overrightarrow{u}\|+\|\overrightarrow{v}\|\)
   • D\(\|\overrightarrow{u}\|\,\|\overrightarrow{v}\|\)

   Remarque

   \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\|\overrightarrow{u}\|\,\|\overrightarrow{v}\|\cos\theta\), où \(\theta=(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})\).

2. Question 2

   Dans un repère orthonormé, avec \(\overrightarrow{u}(x,y)\) et \(\overrightarrow{v}(x',y')\), on a \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\) :

   • ✓\(xx'+yy'\)
   • B\(xy'-x'y\)
   • C\(xx'-yy'\)
   • D\(xy+x'y'\)

   Remarque

   L'expression analytique en repère orthonormé est \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'\).

3. Question 3

   Deux vecteurs non nuls \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux si et seulement si :

   • A\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=1\)
   • ✓\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0\)
   • C\(\|\overrightarrow{u}\|=\|\overrightarrow{v}\|\)
   • D\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\)

   Remarque

   L'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul : \(\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}\Leftrightarrow\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0\).

4. Question 4

   Le produit scalaire \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}\) vaut :

   • A\(0\)
   • ✓\(\|\overrightarrow{u}\|^{2}\)
   • C\(\|\overrightarrow{u}\|\)
   • D\(2\|\overrightarrow{u}\|\)

   Remarque

   \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}=\|\overrightarrow{u}\|^{2}\cos 0=\|\overrightarrow{u}\|^{2}\) : c'est le carré scalaire.

5. Question 5

   Avec \(\overrightarrow{u}(3,-2)\) et \(\overrightarrow{v}(4,6)\), le produit scalaire vaut :

   • ✓\(0\)
   • B\(24\)
   • C\(-12\)
   • D\(12\)

   Remarque

   \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=3\times 4+(-2)\times 6=12-12=0\) : les vecteurs sont orthogonaux.

6. Question 6

   La norme du vecteur \(\overrightarrow{u}(x,y)\) (repère orthonormé) est :

   • A\(x+y\)
   • ✓\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
   • C\(x^{2}+y^{2}\)
   • D\(|x|+|y|\)

   Remarque

   \(\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\).

7. Question 7

   L'identité \(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^{2}=\|\overrightarrow{u}\|^{2}+2\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\|\overrightarrow{v}\|^{2}\) découle :

   • ✓du développement du carré scalaire
   • Bdu théorème de Thalès
   • Cde la formule d'Al-Kashi uniquement
   • Dde la loi des sinus

   Remarque

   En développant \((\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\) par bilinéarité, on obtient cette identité remarquable vectorielle.

8. Question 8

   Une équation cartésienne de la droite passant par \(A\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}(a,b)\) est :

   • ✓\(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\)
   • B\(a(x-x_A)-b(y-y_A)=0\)
   • C\(ax+by=1\)
   • D\(bx-ay=0\)

   Remarque

   Un point \(M\) est sur la droite ssi \(\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{n}\), soit \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AM}=a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\).

9. Question 9

   Dans le triangle \(ABC\), la formule d'Al-Kashi s'écrit :

   • ✓\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat{A}\)
   • B\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)
   • C\(a^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc\cos\widehat{A}\)
   • D\(a=b+c-2bc\cos\widehat{A}\)

   Remarque

   Al-Kashi (théorème de Pythagore généralisé) : \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat{A}\). Elle se démontre avec \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\) et le carré scalaire.

10. Question 10

    L'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) est :

    • Ala médiatrice de \([AB]\)
    • ✓le cercle de diamètre \([AB]\)
    • Cla droite \((AB)\)
    • Dl'ensemble vide

    Remarque

    \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) signifie que le triangle \(MAB\) est rectangle en \(M\) : c'est le cercle de diamètre \([AB]\).