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Le produit scalaire relie en Tronc Commun Sciences longueurs, angles et orthogonalité en une seule opération. Cette fiche réunit ses expressions (trigonométrique ‖u‖‖v‖cos θ, analytique xx′ + yy′, par projection, avec les distances), la caractérisation de l'orthogonalité par un produit nul, puis les grandes relations métriques du triangle : Al-Kashi, théorème de la médiane, aire et loi des sinus. L'idée directrice reste que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Le réflexe : choisir l'expression adaptée aux données avant de se lancer dans un calcul.

u⃗ ⁣⋅ ⁣v⃗\vec u\!\cdot\!\vec v
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Le produit scalaire — Orthogonalité, angles, relations métriques

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1 · Définitions & expressions
Forme trigonométrique
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta
θ\theta = angle des vecteurs
Coordonnées (orthonormé)
u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'
repère orthonormé exigé
Trois points
AB→⋅AC→=12(AB2+AC2−BC2)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)
quand on connaît les distances
Carré scalaire
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2
∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}
Orthogonalité
u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0
xx′+yy′=0xx'+yy'=0
Signe & angle
>0>0 aigu, =0=0 droit, <0<0 obtus
cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}
2 · Calculer & utiliser
Choisir la bonne expression
  • coordonnées connues → xx′+yy′xx'+yy'
  • longueurs + angle → ∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta ; trois distances → 12(AB2+AC2−BC2)\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)
Droites perpendiculaires
  • prendre un vecteur directeur de chaque droite
  • produit scalaire nul ⇒ droites ⊥\perp
Déterminer un angle
  • cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}
  • régler la calculatrice dans la bonne unité
Développer (identités)
  • ∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u\pm\vec v\|^2=\|\vec u\|^2\pm2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2
  • (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2
développer comme en algèbre, vecteurs respectés
3 · Formules & réflexes
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta=xx'+yy'
u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2
AB→⋅AC→=12(AB2+AC2−BC2)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)
Al-Kashi : a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A
médiane : MA2+MB2=2MI2+AB22MA^2+MB^2=2MI^2+\tfrac{AB^2}2
aire : S=12bcsin⁡A^\mathcal S=\tfrac12bc\sin\widehat A
sinus : asin⁡A^=bsin⁡B^=csin⁡C^\dfrac a{\sin\widehat A}=\dfrac b{\sin\widehat B}=\dfrac c{\sin\widehat C}
4 · Relations métriques du triangle
Théorème d'Al-Kashi
  • a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A
  • angle : cos⁡A^=b2+c2−a22bc\cos\widehat A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
Pythagore = cas A^=90∘\widehat A=90^\circ
Théorème de la médiane
  • MA2+MB2=2MI2+AB22MA^2+MB^2=2MI^2+\tfrac{AB^2}2 (II milieu)
  • réflexe : une somme MA2+MB2MA^2+MB^2 ⇒ introduire II
lieux : souvent des cercles de centre II
Aire & loi des sinus
  • S=12bcsin⁡A^\mathcal S=\tfrac12bc\sin\widehat A
  • asin⁡A^=bsin⁡B^=csin⁡C^=abc2S\dfrac a{\sin\widehat A}=\dfrac b{\sin\widehat B}=\dfrac c{\sin\widehat C}=\dfrac{abc}{2\mathcal S}
Cercle de diamètre [AB][AB]
  • MA→⋅MB→=0  ⟺  M\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff M sur ce cercle
  • angle inscrit droit
★ Astuces géniales
  • Cinq expressions du produit scalaire : choisir celle adaptée aux données avant de calculer.
  • xx′+yy′xx'+yy' et x2+y2\sqrt{x^2+y^2} n'ont de sens qu'en repère orthonormé.
  • Al-Kashi généralise Pythagore : le côté opposé à l'angle est seul dans le membre de gauche.
  • Toute somme MA2+MB2MA^2+MB^2 appelle le théorème de la médiane : introduire le milieu II.
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