QCM — Le produit scalaire

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Si \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\), alors \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) vaut :

   • ✓\(x x'+y y'\)
   • B\(x y'+x' y\)
   • C\(x x'-y y'\)
   • D\(x y+x' y'\)

   Remarque

   Expression analytique du produit scalaire : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=x x'+y y'\).

2. Question 2

   \(\vec{u}\cdot\vec{u}\) est égal à :

   • ✓\(\|\vec{u}\|^{2}\)
   • B\(\|\vec{u}\|\)
   • C\(0\)
   • D\(2\|\vec{u}\|\)

   Remarque

   \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}\) (carré scalaire).

3. Question 3

   \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (non nuls) sont orthogonaux si et seulement si :

   • ✓\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)
   • B\(\vec{u}\cdot\vec{v}=1\)
   • C\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\)
   • D\(\vec{u}=\vec{v}\)

   Remarque

   L'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).

4. Question 4

   Dans \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta\), l'angle \(\theta\) est :

   • ✓l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)
   • Btoujours un angle droit
   • Ctoujours \(\pi\)
   • Dtoujours nul

   Remarque

   \(\theta\) est l'angle géométrique formé par les deux vecteurs.

5. Question 5

   Pour \(\vec{u}(1,2)\) et \(\vec{v}(2,-1)\), \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) vaut :

   • ✓\(0\)
   • B\(4\)
   • C\(5\)
   • D\(-2\)

   Remarque

   \(1\times 2+2\times(-1)=0\) : les vecteurs sont donc orthogonaux.

6. Question 6

   Le théorème d'Al-Kashi donne, dans un triangle \(ABC\) :

   • ✓\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat{A}\)
   • B\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)
   • C\(a^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc\cos\widehat{A}\)
   • D\(a^{2}=b^{2}-c^{2}\)

   Remarque

   Al-Kashi généralise Pythagore : \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat{A}\).

7. Question 7

   Dans un triangle rectangle en \(A\), on a :

   • ✓\(BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\)
   • B\(BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}\)
   • C\(BC^{2}=2\,AB\cdot AC\)
   • D\(BC^{2}=AB\cdot AC\)

   Remarque

   C'est le théorème de Pythagore (cas particulier d'Al-Kashi avec \(\widehat{A}=90^\circ\)).

8. Question 8

   Le produit scalaire est symétrique : \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) est égal à :

   • ✓\(\vec{v}\cdot\vec{u}\)
   • B\(-\vec{v}\cdot\vec{u}\)
   • C\(\vec{v}\cdot\vec{u}\) seulement si orthogonaux
   • D\(\vec{v}\cdot\vec{u}\) seulement si égaux

   Remarque

   Le produit scalaire est symétrique : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\).

9. Question 9

   La propriété de distributivité donne \((\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}=\) :

   • ✓\(\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}\)
   • B\((\vec{u}\cdot\vec{w})(\vec{v}\cdot\vec{w})\)
   • C\(\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{w}\)
   • D\(\vec{u}\cdot(\vec{v}\cdot\vec{w})\)

   Remarque

   Le produit scalaire est distributif sur l'addition : \((\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}\).

10. Question 10

    La norme du vecteur \(\vec{u}(3,4)\) vaut :

    • ✓\(5\)
    • B\(7\)
    • C\(25\)
    • D\(12\)

    Remarque

    \(\|\vec{u}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5\).