Fiche de révision — Géométrie dans l'espace · Tronc Commun Sciences

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La géométrie dans l'espace introduit en Tronc Commun Sciences le raisonnement en trois dimensions, où deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles. Cette fiche réunit les axiomes d'incidence, la détermination d'un plan, les positions relatives, les critères de parallélisme et d'orthogonalité, le théorème du toit, puis les volumes, les aires et les sections des solides usuels. La vigilance porte sur les droites gauches : avant de dire « parallèles », il faut justifier la coplanarité. Le réflexe pour un agrandissement de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³.

(P)

Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Géométrie dans l'espace — Positions relatives, parallélisme, solides

Math Excellence

1 · Incidence & positions relatives

Déterminer un plan

3 points non alignés

ou droite + point, 2 droites sécantes / //

Deux droites

sécantes, //, confondues ou gauches

gauches : non coplanaires

Droite & plan

sécants,

(D)\subset(P)

, ou //

3 cas exactement

Deux plans

sécants (une droite), // ou confondus

sécants ⇒ intersection = droite

Inclusion d'une droite

2 points de

(D)

dans

(P)\Rightarrow(D)\subset(P)

axiome d'incidence

Droites gauches

ni sécantes ni //

aucun plan ne les contient

2 · Parallélisme & orthogonalité

Droite parallèle à un plan

trouver dans $(P)$ une droite $(D')\parallel(D)$
vérifier $(D)\not\subset(P)$ ⇒ $(D)\parallel(P)$

Piège : « ne se coupent pas » ≠ « parallèles » (droites gauches).

Plans parallèles

$(P)$ contient 2 droites sécantes // à 2 droites sécantes de $(Q)$
⇒ $(P)\parallel(Q)$

Théorème du toit

$(P)\cap(Q)=(\Delta)$ , $(D)\subset(P)$ , $(D')\subset(Q)$ , $(D)\parallel(D')$
⇒ $(\Delta)\parallel(D)\parallel(D')$

Droite orthogonale à un plan

$(D)$ orthogonale à deux droites sécantes de $(P)$
⇒ $(D)\perp(P)$ , orthogonale à toute droite de $(P)$

une seule droite ne suffit pas

3 · Formules & réflexes

prisme / cylindre :

V=\mathcal B h

pyramide / cône :

V=\tfrac13\mathcal B h

sphère :

V=\tfrac43\pi R^3

, aire

4\pi R^2

cube arête

a

V=a^3

, aire

6a^2

cylindre latérale :

2\pi R h

cône latérale :

\pi R g

section sphère :

r=\sqrt{R^2-d^2}

échelle

k

: longueurs

\times k

, aires

\times k^2

, volumes

\times k^3

4 · Solides, sections & agrandissement

Calculer un volume

identifier le solide, calculer $\mathcal B$
hauteur $h$ perpendiculaire à la base, choisir $\mathcal Bh$ ou $\tfrac13\mathcal Bh$

Attention : la hauteur n'est pas une arête oblique.

Sections planes

plan // à la base : même nature réduite (cercle, polygone)
sphère coupée : cercle de rayon $\sqrt{R^2-d^2}$

Construire une section

placer les points sur les arêtes, relier dans chaque face
2 plans // coupés par une face ⇒ droites //

Effet d'un agrandissement

k

longueurs $\times k$ , aires $\times k^2$ , volumes $\times k^3$
doubler ⇒ aires $\times4$ , volumes $\times8$

★ Astuces géniales

Dans l'espace, deux droites qui ne se coupent pas peuvent être gauches : toujours vérifier la coplanarité avant de dire « parallèles ».
Pour $(D)\perp(P)$ il faut deux droites sécantes de $(P)$ — une seule laisse une infinité de plans possibles.
Pyramide et cône se terminent en pointe : leur volume est le tiers de $\mathcal Bh$ .
Agrandissement $k$ : longueurs $\times k$ , aires $\times k^2$ , volumes $\times k^3$ — trois puissances à ne pas confondre.

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