2023 — Session de rattrapage

1) $u_n>-1$ pour tout $n$

Raisonnement par récurrence. Initialisation : $u_0=0>-1$. Hérédité : supposons $u_n>-1$. On calcule $$u_{n+1}+1=\frac{u_n-2}{2u_n+5}+1=\frac{u_n-2+2u_n+5}{2u_n+5}=\frac{3u_n+3}{2u_n+5}=\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5}.$$ Comme $u_n>-1$, on a $u_n+1>0$ et $2u_n+5>2(-1)+5=3>0$, donc $u_{n+1}+1=\dfrac{3(u_n+1)}{2u_n+5}>0$, c'est-à-dire $u_{n+1}>-1$. D'où $u_n>-1$ pour tout $n\in\mathbb N$. ∎

2) $(u_n)$ décroissante et convergente

Pour tout $n$, $$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n-2}{2u_n+5}-u_n=\frac{u_n-2-u_n(2u_n+5)}{2u_n+5}=\frac{-2u_n^{2}-4u_n-2}{2u_n+5}=\frac{-2(u_n+1)^{2}}{2u_n+5}.$$ Or $(u_n+1)^{2}\ge0$ et $2u_n+5>3>0$ (question 1), donc $u_{n+1}-u_n\le0$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.

3) a) $(v_n)$ arithmétique de raison $2$

Avec $v_n=\dfrac{3}{1+u_n}$, on a d'après la question 1 la relation $1+u_{n+1}=\dfrac{3(u_n+1)}{2u_n+5}$, donc $$v_{n+1}=\frac{3}{1+u_{n+1}}=\frac{3(2u_n+5)}{3(u_n+1)}=\frac{2u_n+5}{u_n+1}.$$ On en déduit $$v_{n+1}-v_n=\frac{2u_n+5}{u_n+1}-\frac{3}{u_n+1}=\frac{2u_n+2}{u_n+1}=\frac{2(u_n+1)}{u_n+1}=2.$$ Donc $(v_n)$ est arithmétique de raison $2$, de premier terme $v_0=\dfrac{3}{1+u_0}=\dfrac{3}{1}=3$. ∎

3) b) Expression de $u_n$ et limite

Suite arithmétique : $v_n=v_0+2n=2n+3$. De $v_n=\dfrac{3}{1+u_n}$ on tire $1+u_n=\dfrac{3}{v_n}=\dfrac{3}{2n+3}$, d'où $$u_n=\frac{3}{2n+3}-1=\frac{3-(2n+3)}{2n+3}=\frac{-2n}{2n+3}.$$ Par suite $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{-2n}{2n+3}=\lim_{n\to+\infty}\frac{-2n}{2n}=-1$, ce qui est cohérent avec « $(u_n)$ décroissante et minorée par $-1$ ». $\boxed{\lim u_n=-1}$ ∎

4) a) $(w_n)$ géométrique

Comme $v_n=2n+3$, on a $3-v_n=3-(2n+3)=-2n$, donc $w_n=e^{\,3-v_n}=e^{-2n}=\big(e^{-2}\big)^{n}$. Ainsi $$\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{e^{-2(n+1)}}{e^{-2n}}=e^{-2}.$$ Donc $(w_n)$ est géométrique de raison $q=e^{-2}$, de premier terme $w_0=e^{\,3-v_0}=e^{0}=1$. ∎

4) b) Limite de $S_n$

Somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison $q=e^{-2}\neq1$ : $$S_n=w_0\,\frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}=\frac{1-e^{-2(n+1)}}{1-e^{-2}}.$$ Comme $0<e^{-2}<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}e^{-2(n+1)}=0$, donc $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}S_n=\frac{1}{1-e^{-2}}=\frac{e^{2}}{e^{2}-1}.} ∎$$

1) a) $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=13\,\vec u$

On a $\vec u=\overrightarrow{\Omega A}=(2-1,\,1+1,\,2-0)=(1,2,2)$, avec $\|\vec u\|=\sqrt{1+4+4}=3=R$. Puis $\overrightarrow{AB}=(-4,-1,3)$ et $\overrightarrow{AC}=(2,-6,5)$, d'où $$\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\Big((-1)(5)-(3)(-6),\ (3)(2)-(-4)(5),\ (-4)(-6)-(-1)(2)\Big)=(13,26,26)=13(1,2,2)=13\,\vec u.$$ Comme $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=13\,\vec u\neq\vec 0$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires : $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés. ∎

1) b) Équation du plan $(ABC)$

Le vecteur $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=13\,\vec u$ est normal à $(ABC)$ ; on peut donc prendre $\vec u=(1,2,2)$ comme vecteur normal. Le plan s'écrit $x+2y+2z+d=0$, et le passage par $A(2,1,2)$ donne $2+2+4+d=0$, soit $d=-8$. D'où $$(ABC):\ x+2y+2z-8=0.$$ Vérification : $B(-2,0,5)\to-2+0+10-8=0$ et $C(4,-5,7)\to4-10+14-8=0$. ✓ ∎

1) c) Tangence de $(ABC)$ à $(S)$ en $A$

Le vecteur $\vec u=\overrightarrow{\Omega A}$ est normal à $(ABC)$, donc $A$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$ et $$d\big(\Omega,(ABC)\big)=\Omega A=\|\vec u\|=3=R.$$ De plus $\Omega A=3=R$ montre que $A\in(S)$. Comme la distance du centre au plan vaut le rayon, le plan $(ABC)$ est tangent à $(S)$, et le point de contact est précisément $A$. ∎

2) a) Intersection de $(\Delta)$ et $(P)$

$(\Delta)$ est orthogonale à $(P)$, elle admet donc $\vec n=(3,4,1)$ (normal de $(P)$) comme vecteur directeur. Une représentation paramétrique passant par $A$ est $(x,y,z)=(2+3t,\,1+4t,\,2+t)$. En reportant dans $(P)$ : $$3(2+3t)+4(1+4t)+(2+t)+1=0\ \Longrightarrow\ 13+26t=0\ \Longrightarrow\ t=-\tfrac12.$$ Alors $H=\Big(2-\tfrac32,\,1-2,\,2-\tfrac12\Big)=\Big(\dfrac12,-1,\dfrac32\Big)$. ∎

2) b) Point $D$

$H$ milieu de $[AD]$ équivaut à $D=2H-A$ : $$D=\big(2\cdot\tfrac12-2,\ 2\cdot(-1)-1,\ 2\cdot\tfrac32-2\big)=(-1,-3,1). ∎$$

3) a) Tangence de $(Q)$ à $(S)$ en $D$

$\overrightarrow{\Omega D}=(-1-1,\,-3+1,\,1-0)=(-2,-2,1)$, avec $\|\overrightarrow{\Omega D}\|=\sqrt{4+4+1}=3=R$, donc $D\in(S)$. Le plan $(Q)$ passe par $D$ et admet $\overrightarrow{\Omega D}$ pour vecteur normal ; $D$ est donc le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(Q)$ et $$d\big(\Omega,(Q)\big)=\Omega D=3=R.$$ Le plan $(Q)$ est donc tangent à la sphère $(S)$, au point de contact $D$. ∎

3) b) $(Q)\cap(ABC)=(BC)$

Le plan $(Q)$, de vecteur normal $(-2,-2,1)$ et passant par $D(-1,-3,1)$, s'écrit $-2x-2y+z+d=0$ avec $-2(-1)-2(-3)+1+d=0$, soit $d=-9$. Donc $$(Q):\ 2x+2y-z+9=0.$$ Vérifions que $B$ et $C$ lui appartiennent : $B(-2,0,5)\to2(-2)+0-5+9=0$ ✓ ; $C(4,-5,7)\to8-10-7+9=0$ ✓. Or $B$ et $C$ appartiennent déjà à $(ABC)$.

1) a) Forme trigonométrique de $a$

$|a|=\sqrt{\Big(\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)^{2}+\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{2}}=\sqrt{\dfrac34+\dfrac94}=\sqrt{3}$. On factorise : $$a=\sqrt3\Big(\frac{\sqrt3/2}{\sqrt3}+i\,\frac{3/2}{\sqrt3}\Big)=\sqrt3\Big(\frac12+i\,\frac{\sqrt3}{2}\Big)=\sqrt3\Big(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\Big). ∎$$

1) b) $a^{2022}$ est réel

D'après la formule de Moivre, $$a^{2022}=\big(\sqrt3\big)^{2022}\Big(\cos\frac{2022\pi}{3}+i\sin\frac{2022\pi}{3}\Big)=3^{1011}\big(\cos 674\pi+i\sin 674\pi\big).$$ Comme $674\pi=337\times2\pi$, on a $\cos 674\pi=1$ et $\sin 674\pi=0$. Donc $a^{2022}=3^{1011}$, qui est réel (positif). ∎

2) Angle de la rotation $R$

$a=\sqrt3\,e^{i\pi/3}$ et $\bar a=\sqrt3\,e^{-i\pi/3}$. La rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\theta$ transforme $B$ en $A$ si et seulement si $a=e^{i\theta}\,\bar a$, c'est-à-dire $$e^{i\theta}=\frac{a}{\bar a}=\frac{\sqrt3\,e^{i\pi/3}}{\sqrt3\,e^{-i\pi/3}}=e^{i\,2\pi/3}.$$ Une mesure de l'angle de $R$ est donc $\boxed{\theta\equiv\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]}$. ∎

3) a) $\alpha>\tfrac34$ et $\alpha=z\bar z$

Le discriminant de $(E_\alpha)$ est $\Delta=(-\sqrt3)^{2}-4\alpha=3-4\alpha$. L'équation admet deux racines complexes conjuguées non réelles si et seulement si $\Delta<0$, soit $3-4\alpha<0$, c'est-à-dire $\alpha>\dfrac34$. D'autre part, le produit des racines vaut $z\bar z=\dfrac{\alpha}{1}=\alpha$ (relations coefficients–racines). D'où $\alpha=z\bar z=|z|^{2}$. ∎

3) b) $|z|=|z-\sqrt3|$

La somme des racines vaut $z+\bar z=\sqrt3$, donc $2\,\mathrm{Re}(z)=\sqrt3$. Alors $$|z-\sqrt3|^{2}=(z-\sqrt3)(\bar z-\sqrt3)=z\bar z-\sqrt3(z+\bar z)+3=\alpha-\sqrt3\cdot\sqrt3+3=\alpha.$$ Or $|z|^{2}=z\bar z=\alpha$. Donc $|z-\sqrt3|^{2}=|z|^{2}$, soit $|z|=|z-\sqrt3|$. ∎

3) c) $M$ et $N$ sur la médiatrice de $[OP]$

$|z|=|z-\sqrt3|$ signifie $MO=MP$ (car $P$ a pour affixe $\sqrt3$) : le point $M$ est équidistant de $O$ et de $P$, donc $M$ appartient à la médiatrice $(\Delta)$ de $[OP]$. De même, comme $\sqrt3$ est réel, $|\bar z-\sqrt3|=|\overline{z-\sqrt3}|=|z-\sqrt3|=|z|=|\bar z|$, donc $NO=NP$ et $N\in(\Delta)$. ∎

3) d) Valeur de $\alpha$ et points d'intersection

D'après 3)b), $|z-\sqrt3|^{2}=\alpha$. La condition $|z-\sqrt3|=\sqrt3$ donne $\alpha=3$ (qui vérifie bien $\alpha>\tfrac34$ et $\alpha\neq0$). L'équation devient $z^{2}-\sqrt3\,z+3=0$, de discriminant $\Delta=3-12=-9$, d'où les racines $$z=\frac{\sqrt3+3i}{2}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac32 i\quad\text{et}\quad\bar z=\frac{\sqrt3}{2}-\frac32 i.$$ Avec $\alpha=3$, on a $MP=|z-\sqrt3|=\sqrt3$ et $NP=|\bar z-\sqrt3|=\sqrt3$ : $M$ et $N$ appartiennent au cercle de centre $P$ et de rayon $\sqrt3$. Or $M,N\in(\Delta)$.

1) a) $p(A)$ : au moins une noire

Le tirage simultané de $2$ boules parmi $6$ donne $\mathrm{Card}(\Omega)=\binom{6}{2}=15$ issues équiprobables. L'événement contraire de $A$ est « aucune noire », c'est-à-dire « les deux boules sont blanches » : $$p(A)=1-\frac{\binom{4}{2}}{\binom{6}{2}}=1-\frac{6}{15}=\frac{9}{15}=\frac35. ∎$$

1) b) $p(B)=\tfrac{7}{15}$

« Deux boules de même couleur » = « deux blanches » ou « deux noires » (incompatibles) : $$p(B)=\frac{\binom{4}{2}+\binom{2}{2}}{\binom{6}{2}}=\frac{6+1}{15}=\frac{7}{15}. ∎$$

1) c) $B$ réalisé exactement 3 fois sur 5

Les $5$ répétitions avec remise sont identiques et indépendantes ; le nombre de réalisations de $B$ suit une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=p(B)=\dfrac{7}{15}$. Donc $$p=\binom{5}{3}\Big(\frac{7}{15}\Big)^{3}\Big(1-\frac{7}{15}\Big)^{2}=10\Big(\frac{7}{15}\Big)^{3}\Big(\frac{8}{15}\Big)^{2}=\frac{10\times343\times64}{15^{5}}=\frac{43904}{151875}\approx0{,}289. ∎$$

2) a) Valeurs de $X$

On s'arrête à la première blanche. $X=1$ si la $1^{\text{re}}$ boule est blanche ; $X=2$ si la $1^{\text{re}}$ est noire et la $2^{\text{e}}$ blanche ; $X=3$ si les deux premières sont noires (les seules deux noires) et la $3^{\text{e}}$ est alors nécessairement blanche. Comme il n'y a que $2$ boules noires, on obtient une blanche au plus au $3^{\text{e}}$ tirage : $X\in\{1,2,3\}$. ∎

2) b) $p(X=2)=\tfrac{4}{15}$

$X=2$ : première boule noire puis blanche (sans remise) : $$p(X=2)=\frac{2}{6}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}. ∎$$

2) c) Loi de $X$

$p(X=1)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{15}$ ; $p(X=2)=\dfrac{4}{15}$ ; et $$p(X=3)=\frac{2}{6}\times\frac{1}{5}\times1=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}.$$ On vérifie $\dfrac{10}{15}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{15}=1$.

2) d) Au moins une noire

« Obtenir au moins une boule noire » signifie que la première boule n'est pas blanche, c'est-à-dire $X\ge2$ : $$p(X\ge2)=p(X=2)+p(X=3)=\frac{4}{15}+\frac{1}{15}=\frac{5}{15}=\frac13.$$ (On retrouve $1-p(X=1)=1-\tfrac23=\tfrac13$.) ∎

1) Continuité en $2$

$f(2)=(2-1)^{2}e^{\,2(2-2)}=1\times e^{0}=1$. À gauche, $\displaystyle\lim_{x\to2^{-}}(x-1)^{2}e^{\,x(2-x)}=1\times e^{0}=1$. À droite, en posant $t=x-2\to0^{+}$, $$\lim_{x\to2^{+}}\big(1+(x-2)^{2}\ln(x-2)\big)=1+\lim_{t\to0^{+}}t^{2}\ln t=1+0=1,$$ car $\displaystyle\lim_{t\to0^{+}}t^{2}\ln t=0$. Les limites à gauche et à droite valent $f(2)=1$ : $f$ est continue en $2$. ∎

2) a) Identité du taux d'accroissement ($x<2$)

Notons $t=x(2-x)$. On part du membre de droite et on réduit au même dénominateur $2-x$ (en remarquant que $x\,\dfrac{e^{t}-1}{x(2-x)}=\dfrac{e^{t}-1}{2-x}$) : $$x\,e^{t}-x\,\frac{e^{t}-1}{x(2-x)}=x\,e^{t}-\frac{e^{t}-1}{2-x}=\frac{x(2-x)\,e^{t}-(e^{t}-1)}{2-x}=\frac{e^{t}\big(x(2-x)-1\big)+1}{2-x}.$$ Or $x(2-x)-1=2x-x^{2}-1=-(x^{2}-2x+1)=-(x-1)^{2}$, donc le numérateur vaut $-e^{t}(x-1)^{2}+1=-\big((x-1)^{2}e^{t}-1\big)$. D'où $$\frac{-\big((x-1)^{2}e^{t}-1\big)}{2-x}=\frac{(x-1)^{2}e^{\,x(2-x)}-1}{x-2}=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.$$ L'identité est vérifiée. ∎

2) b) Dérivabilité à gauche en $2$

Quand $x\to2^{-}$, on a $t=x(2-x)\to0$, donc $e^{\,x(2-x)}\to1$ : le premier terme tend vers $2\times1=2$. Pour le second, comme $t=x(2-x)\to0$, on a $\dfrac{e^{t}-1}{t}\to1$, donc $x\cdot\dfrac{e^{t}-1}{x(2-x)}=x\cdot\dfrac{e^{t}-1}{t}\to2\times1=2$. Ainsi $$f'_g(2)=\lim_{x\to2^{-}}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2-2=0.$$ Donc $f$ est dérivable à gauche en $2$, avec $f'_g(2)=0$. ∎

2) c) Dérivabilité en $2$ et $f'(2)=0$

À droite, avec $t=x-2\to0^{+}$ : $$f'_d(2)=\lim_{x\to2^{+}}\frac{1+(x-2)^{2}\ln(x-2)-1}{x-2}=\lim_{x\to2^{+}}(x-2)\ln(x-2)=\lim_{t\to0^{+}}t\ln t=0.$$ Comme $f'_g(2)=f'_d(2)=0$, $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=0$.

3) a) Autre écriture de $f$ ($x\le2$)

Pour $x\le2$, $f(x)=(x-1)^{2}e^{\,x(2-x)}=(x^{2}-2x+1)e^{\,x(2-x)}$. Or $x^{2}-2x=x(x-2)$, donc $$f(x)=\big(x(x-2)+1\big)e^{\,x(2-x)}=x(x-2)\,e^{\,x(2-x)}+e^{\,x(2-x)}. ∎$$

3) b) Limite en $-\infty$

Posons $t=x(2-x)=1-(x-1)^{2}$. Alors $f(x)=(x-1)^{2}e^{\,x(2-x)}$ s'écrit, avec $s=(x-1)^{2}$ et $t=1-s$, $$f(x)=s\,e^{\,1-s}=e\cdot s\,e^{-s}.$$ Quand $x\to-\infty$, $s=(x-1)^{2}\to+\infty$, et $s\,e^{-s}\to0$ (croissances comparées). Donc $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0.$$ Interprétation : la droite $y=0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $(C)$ au voisinage de $-\infty$. ∎

3) c) Limites en $+\infty$

Pour $x>2$, $f(x)=1+(x-2)^{2}\ln(x-2)$. Comme $(x-2)^{2}\to+\infty$ et $\ln(x-2)\to+\infty$, on a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. De plus $$\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{x}+\frac{(x-2)^{2}\ln(x-2)}{x}=\frac1x+x\Big(1-\frac2x\Big)^{2}\ln(x-2)\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty.$$ Interprétation : $(C)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées $(Oy)$ au voisinage de $+\infty$. ∎