Tronc Commun · Sciences · Chapitre 15

Statistiques

Comment résumer des centaines de données par quelques nombres parlants ? La statistique répond en deux temps : un paramètre de position, qui dit où se situe l'ensemble, et un paramètre de dispersion, qui dit à quel point il est étalé — car deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes. Ce chapitre pose d'abord le vocabulaire (caractère, effectif nᵢ, effectif total N, fréquence fᵢ = nᵢ/N, séries discrètes ou regroupées en classes), puis les trois paramètres de position : la moyenne x̄ = (1/N)Σnᵢxᵢ, la médiane qui coupe la série ordonnée en deux moitiés égales, et le mode, valeur la plus fréquente. Un point-clé à comprendre : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes tandis que la médiane leur résiste — sur des salaires très inégaux, c'est la médiane qui décrit le mieux le groupe. La dispersion vient ensuite avec l'étendue, la variance V = (1/N)Σnᵢxᵢ² − x̄² (formule développée, plus rapide à calculer) et l'écart type σ = √V, qui mesure l'écart moyen à la moyenne dans la même unité que les données : petit σ pour une série homogène, grand σ pour une série étalée.

1 · Résumé du cours

Les statistiques résument un grand nombre de données par quelques nombres bien choisis : où se situe l'ensemble (position) et à quel point il est étalé (dispersion). Deux séries de même moyenne peuvent être très différentes — d'où l'importance des deux familles d'indicateurs.

1.1 Vocabulaire

Définition Une série statistique associe à chaque valeur

x_i

d'un caractère son effectif

n_i

(nombre d'individus concernés). L'effectif total est

N=\sum n_i

, et la fréquence de

x_i

est

f_i=\frac{n_i}{N}\qquad\Big(\text{avec }\sum f_i=1\Big).

Définition Un caractère est qualitatif (couleur, sport) ou quantitatif (taille, note) ; ce dernier peut être discret (valeurs isolées) ou continu (regroupé en classes

[a,b[

1.2 Paramètres de position

Définition — moyenne

\boxed{\;\overline{x}=\frac1N\sum_i n_i\,x_i=\sum_i f_i\,x_i\;}

Pour une série en classes,

x_i

est le centre de chaque classe.

Définition — médiane et mode La médiane

M_e

partage la série ordonnée en deux moitiés d'effectifs égaux. Le mode est la valeur (ou la classe) de plus grand effectif.

Méthode — calculer la médiane On ordonne les

N

valeurs :

si $N$ est impair, $M_e$ est la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$ ;
si $N$ est pair, $M_e$ est la moyenne des valeurs de rangs $\frac N2$ et $\frac N2+1$ .

Moyenne ou médiane ? La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane ne l'est pas. Sur les salaires d'une entreprise où le patron gagne très gros, la moyenne « monte » artificiellement : la médiane décrit mieux la réalité du groupe.

1.3 Paramètres de dispersion

Définition — étendue L'étendue est

e=x_{\max}-x_{\min}

Définition — variance et écart type

\boxed{\;V=\frac1N\sum_i n_i\big(x_i-\overline{x}\big)^2=\underbrace{\frac1N\sum_i n_i x_i^2-\overline{x}^{\,2}}_{\text{formule développée, plus rapide}}\;}

\boxed{\;\sigma=\sqrt{V}\;}\quad(\textbf{écart type})

Ce que mesure l'écart type L'écart type dit « en moyenne, de combien les valeurs s'écartent de

\overline{x}

». Un

\sigma

petit = série homogène (regroupée) ; un

\sigma

grand = série hétérogène (étalée). Il s'exprime dans la même unité que les données, contrairement à la variance.

L'essentiel du chapitre

$\overline{x}=\frac1N\sum n_i x_i$ (centres de classes si série continue).
Médiane : partage en deux moitiés ; robuste aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.
Variance : $V=\frac1N\sum n_i x_i^2-\overline{x}^{\,2}$ (plus rapide) ; écart type $\sigma=\sqrt V$ , même unité que les données.
Position et dispersion : les deux sont nécessaires pour décrire une série.

2 · Exercices résolus

Position, notes

Exercice 1

On relève les notes : $8,\ 12,\ 12,\ 14,\ 15,\ 15,\ 15,\ 17$ . Calculer la moyenne, la médiane, le mode et l'étendue.

Voir la correction

Moyenne. $N=8$ , somme $=8+12+12+14+15+15+15+17=108$ , donc $\overline{x}=\dfrac{108}{8}=13{,}5$ .

Médiane. $N=8$ est pair : moyenne des valeurs de rangs $4$ et $5$ , soit $\dfrac{14+15}{2}=14{,}5$ .

Mode. La valeur $15$ apparaît $3$ fois : c'est la plus fréquente.

Étendue. $17-8=9$ . $\blacksquare$

Dispersion, effectifs

Exercice 2

Une série a pour valeurs $x_i=2,\ 4,\ 6$ d'effectifs $n_i=1,\ 2,\ 1$ . Calculer $\overline{x}$ , la variance et l'écart type.

Voir la correction

Moyenne. $N=1+2+1=4$ , et $\overline{x}=\dfrac{1\times2+2\times4+1\times6}{4}=\dfrac{16}{4}=4$ .

Variance (formule développée). $\dfrac1N\sum n_i x_i^2=\dfrac{1\times4+2\times16+1\times36}{4}=\dfrac{72}{4}=18$ , donc $V=18-4^2=2$ .

Écart type. $\sigma=\sqrt2\approx1{,}41$ . $\blacksquare$

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